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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2016年8月実施 基礎科目 [4]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

ff を I={x∈R∣x≥0}I=\{x\in\mathbb R\mid x\ge0\} 上の実数値連続関数とする。正の整数 nn に対し、II 上の関数 fnf_n を

fn(x)=f(x+n)f_n(x)=f(x+n)

で定める。関数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} が II 上で一様収束するとき、以下の問に答えよ。

(i) II 上の関数 gg を g(x)=lim⁡n→∞fn(x)g(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) で定める。このとき gg は II 上で一様連続であることを示せ。

(ii) ff は II 上で一様連続であることを示せ。

题目描述​

设 f:[0,∞)→Rf:[0,\infty)\to\mathbb R 连续，令 fn(x)=f(x+n)f_n(x)=f(x+n)。已知 {fn}\{f_n\} 在 [0,∞)[0,\infty) 上一致收敛。

(i) 令 g(x)=lim⁡n→∞fn(x)g(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)，证明 gg 在 [0,∞)[0,\infty) 上一致连续。

(ii) 证明 ff 在 [0,∞)[0,\infty) 上一致连续。

Kai​

(i)​

連続関数列の一様極限であるから gg は連続である。また

g(x+1)=lim⁡n→∞f(x+n+1)=g(x)g(x+1)=\lim_{n\to\infty}f(x+n+1)=g(x)

なので、gg は周期 11 を持つ。

gg はコンパクト区間 [0,2][0,2] 上で一様連続である。任意の ε>0\varepsilon>0 に対し、u,v∈[0,2]u,v\in[0,2]、∣u−v∣<δ|u-v|<\delta なら ∣g(u)−g(v)∣<ε|g(u)-g(v)|<\varepsilon となる 0<δ<10<\delta<1 を取る。

0≤x≤y0\le x\le y、y−x<δy-x<\delta とし、j=⌊x⌋j=\lfloor x\rfloor と置けば、x−j,y−j∈[0,2]x-j,y-j\in[0,2] である。周期性により

∣g(x)−g(y)∣=∣g(x−j)−g(y−j)∣<ε.|g(x)-g(y)|=|g(x-j)-g(y-j)|<\varepsilon.

したがって gg は II 上で一様連続である。

(ii)​

ε>0\varepsilon>0 とする。一様収束により、ある正の整数 NN について

sup⁡u≥0∣f(N+u)−g(u)∣<ε3.\sup_{u\ge0}|f(N+u)-g(u)|<\frac{\varepsilon}{3}.

(i) により、∣u−v∣<δ1|u-v|<\delta_1 なら ∣g(u)−g(v)∣<ε/3|g(u)-g(v)|<\varepsilon/3 となる δ1>0\delta_1>0 が存在する。よって x,y≥Nx,y\ge N、∣x−y∣<δ1|x-y|<\delta_1 なら

∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−g(x−N)∣+∣g(x−N)−g(y−N)∣+∣g(y−N)−f(y)∣<ε.\begin{aligned} |f(x)-f(y)| &\le |f(x)-g(x-N)|+|g(x-N)-g(y-N)|\\ &\qquad+|g(y-N)-f(y)|<\varepsilon. \end{aligned}

一方、ff は [0,N+1][0,N+1] 上で一様連続なので、この区間で ∣x−y∣<δ2|x-y|<\delta_2 なら ∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon となる δ2>0\delta_2>0 がある。

δ=min⁡{1,δ1,δ2}\delta=\min\{1,\delta_1,\delta_2\} と置く。x,y≥0x,y\ge0、∣x−y∣<δ|x-y|<\delta のとき、両方が NN 以上なら前者の評価を使える。それ以外なら両方が [0,N+1][0,N+1] に入るので後者の評価を使える。したがって ff は II 上で一様連続である。

Reference​

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