京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2016年8月実施基礎科目 [3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$m,n$ を正の整数とし、 $A$ を複素 $(n,m)$ 行列、 $B$ を複素 $(m,n)$ 行列とする。複素数 $\lambda\ne0$ について、以下の問に答えよ。

(i) $\lambda$ が $BA$ の固有値ならば、 $\lambda$ は $AB$ の固有値でもあることを示せ。

(ii) $\mathbb C^m,\mathbb C^n$ の部分空間 $V,W$ をそれぞれ

\begin{aligned} V&=\{x\in\mathbb C^m\mid \text{ある正の整数 }k\text{ に対して }(BA-\lambda I_m)^kx=0\},\\ W&=\{y\in\mathbb C^n\mid \text{ある正の整数 }\ell\text{ に対して }(AB-\lambda I_n)^\ell y=0\} \end{aligned}

で定める。ただし $I_m,I_n$ は単位行列、 $0$ は零ベクトルを表す。このとき $\dim V=\dim W$ であることを示せ。

设 $m,n$ 为正整数， $A\in M_{n,m}(\mathbb C)$ 、 $B\in M_{m,n}(\mathbb C)$ ，且 $\lambda\in\mathbb C\setminus\{0\}$ 。

(i) 证明：若 $\lambda$ 是 $BA$ 的特征值，则也是 $AB$ 的特征值。

(ii) 定义广义特征子空间

\begin{aligned} V&=\{x\in\mathbb C^m\mid \exists k\ge1,\ (BA-\lambda I_m)^kx=0\},\\ W&=\{y\in\mathbb C^n\mid \exists\ell\ge1,\ (AB-\lambda I_n)^\ell y=0\}. \end{aligned}

其中 $I_m,I_n$ 为单位矩阵。证明 $\dim V=\dim W$ 。

$BAx=\lambda x$ を満たす $x\ne0$ を取る。もし $Ax=0$ なら $\lambda x=BAx=0$ となり、 $\lambda\ne0$ に反する。よって $Ax\ne0$ であり、

AB(Ax)=A(BAx)=\lambda Ax

だから、 $\lambda$ は $AB$ の固有値である。

恒等式

(AB-\lambda I_n)A=A(BA-\lambda I_m)

を繰り返し用いると、

(AB-\lambda I_n)^kAx=A(BA-\lambda I_m)^kx

となる。したがって $A(V)\subset W$ である。

さらに $x\in V$ かつ $Ax=0$ とする。ある $k\ge1$ に対し $(BA-\lambda I_m)^kx=0$ である一方、 $BAx=0$ より

(BA-\lambda I_m)^kx=(-\lambda)^kx.

$\lambda\ne0$ なので $x=0$ である。よって $A|_V:V\to W$ は単射であり、 $\dim V\le\dim W$ を得る。

$A,B$ を入れ換えた同じ議論により $B|_W:W\to V$ も単射であるから、 $\dim W\le\dim V$ である。以上より

\boxed{\dim V=\dim W}.