京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2016年8月実施基礎科目 [2]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

実行列

A= \begin{pmatrix} 1&-2&-1&1&0\\ -2&5&3&-2&1\\ 1&1&2&0&-1\\ 5&0&5&3&2 \end{pmatrix}

について、以下の問に答えよ。

(i) 連立一次方程式 $A(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{\mathsf T}=(0,0,0,0)^{\mathsf T}$ の解をすべて求めよ。

(ii) 連立一次方程式 $A(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{\mathsf T}=(0,-1,1,c)^{\mathsf T}$ が解を持つような実数 $c$ をすべて求めよ。

给定实矩阵

A= \begin{pmatrix} 1&-2&-1&1&0\\ -2&5&3&-2&1\\ 1&1&2&0&-1\\ 5&0&5&3&2 \end{pmatrix}.

(i) 求齐次方程组 $A(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{\mathsf T}=0$ 的全部解。

(ii) 求使 $A(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{\mathsf T}=(0,-1,1,c)^{\mathsf T}$ 有解的全部实数 $c$ 。

行基本変形により

A\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&0&-2\\ 0&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.

したがって、 $x_3=s,\ x_5=t$ と置けば、解は

\boxed{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\-4\\1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb R }.

$A$ の第 $j$ 行を $R_j$ と書くと、

R_4=11R_1+4R_2+2R_3

である。よって解が存在するためには

c=11\cdot0+4(-1)+2\cdot1=-2

が必要である。一方、 $c=-2$ のとき

A\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\-4\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-2\end{pmatrix}

となるので、この条件は十分でもある。したがって $\boxed{c=-2}$ である。