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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2016年8月実施 基礎科目 [1]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の重積分を求めよ。

∬De−max⁡{x2,y2} dx dy,D={(x,y)∈R2∣0≤x≤1, 0≤y≤1}.\iint_D e^{-\max\{x^2,y^2\}}\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1\}.

题目描述​

计算二重积分

∬De−max⁡{x2,y2} dx dy,D=[0,1]×[0,1].\iint_D e^{-\max\{x^2,y^2\}}\,dx\,dy, \qquad D=[0,1]\times[0,1].

Kai​

被積分関数は x,yx,y について対称であり、対角線 x=yx=y の面積は 00 である。三角形 0≤y≤x≤10\le y\le x\le1 上では max⁡{x2,y2}=x2\max\{x^2,y^2\}=x^2 だから、

∬De−max⁡{x2,y2} dx dy=2∫01∫0xe−x2 dy dx=2∫01xe−x2 dx=[−e−x2]01=1−e−1.\begin{aligned} \iint_D e^{-\max\{x^2,y^2\}}\,dx\,dy &=2\int_0^1\int_0^x e^{-x^2}\,dy\,dx\\ &=2\int_0^1xe^{-x^2}\,dx\\ &=\left[-e^{-x^2}\right]_0^1 =\boxed{1-e^{-1}}. \end{aligned}

Reference​

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