京都大学 理学研究科 地球惑星科学専攻 2022年8月実施 基礎科目 問題1

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• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Method-of-Undetermined-Coefficients
• Quadratic-Form
• Gaussian-Integral

Author

Miyake

Description

[1]

次の積分を計算せよ．

$$\int x \sqrt{1-x} \ \text{d}x$$

[2]

行列の対角成分の和をトレースと呼ぶ．$\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ を $n \times n$ の正方行列とするとき，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ と $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ のトレースが等しくなることを示せ．

[3]

次の行列の逆行列を求めよ．

$$\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

[4]

次の微分方程式の一般解を求めよ．

$$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = e^{-3x}$$

[5]

以下の行列

$$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

について考える．$\boldsymbol{x}^t = (x_1, x_2)$ であるとき，以下の積分の値を求めよ．

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (\boldsymbol{x}^t \boldsymbol{A} \boldsymbol{x})\ dx_1 dx_2$$

ここで，上添え字の $t$ は転置を表す．なお，

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-ax^2)\ dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

は，証明なしに用いてよい．

题目描述

1. 计算不定积分

   $$\int x\sqrt{1-x}\,dx.$$

2. 方阵对角元素之和称为迹。设 $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 为 $n\times n$ 方阵，证明 $\boldsymbol A\boldsymbol B$ 与 $\boldsymbol B\boldsymbol A$ 的迹相等。

3. 求矩阵

   $$\boldsymbol C= \begin{pmatrix} 3&0&5&0\\ 0&8&0&2\\ 2&0&3&0\\ 0&2&0&1 \end{pmatrix}$$

   的逆矩阵。

4. 求微分方程

   $$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-6y=e^{-3x}$$

   的通解。

5. 考虑矩阵

   $$\boldsymbol A= \begin{pmatrix} -2&1\\ 1&-2 \end{pmatrix}.$$

   对 $\boldsymbol x^{t}=(x_1,x_2)$，计算

   $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(\boldsymbol x^{t}\boldsymbol A\boldsymbol x) \,dx_1\,dx_2.$$

   上标 $t$ 表示转置，并可不加证明地使用

   $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx =\sqrt{\frac\pi a}.$$

考点

• 换元积分：通过代数换元计算含根式的不定积分。
• 矩阵迹的循环性质：按分量展开证明 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。
• 矩阵求逆：利用分块/置换结构或行初等变换求四阶逆矩阵。
• 二阶常系数非齐次微分方程：求齐次通解并用待定系数法构造特解。
• 多元 Gaussian 积分：对称二次型正交化后将二维积分分解为一维 Gaussian 积分。

Kai

[1]

$t=\sqrt{1-x}$ とおいて、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int x \sqrt{1-x} dx &= \int (1-t^2) t (-2tdt) \\ &= 2 \int (t^4-t^2) dt \\ &= \frac{2}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{2}{5}(1-x)^\frac{5}{2} - \frac{2}{3}(1-x)^\frac{3}{2} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

[2]

$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ の $(i,j)$ 成分を $A_{ij}, B_{ij}$ とすると、

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ の $(i,j)$ 成分はそれぞれ

$$\begin{aligned} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)_{ij} &= \sum_k A_{ik} B_{kj} \\ \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right)_{ij} &= \sum_k B_{ik} A_{kj} \end{aligned}$$

であり、 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ のトレースはそれぞれ

$$\begin{aligned} \mathrm{tr} \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right) &= \sum_i \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \right)_{ii} \\ &= \sum_i \sum_k A_{ik} B_{ki} \\ \mathrm{tr} \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right) &= \sum_i \left( \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \right)_{ii} \\ &= \sum_i \sum_k B_{ik} A_{ki} \end{aligned}$$

であるから、これらが等しいことがわかる。

[3]

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & - \frac{1}{2} \\ 2 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

[4]

まず、

$$\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0 \end{aligned}$$

に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、

$\lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda+3)(\lambda-2) = 0$ から

$\lambda=-3,2$ を得るので、この微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( c_1, c_2 \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

であることがわかる。

次に、与えられた微分方程式に $y=Axe^{-3x}$ （ $A$ は $x$ によらない定数）を代入すると、

$A=1/5$ を得るので、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{2x} + \frac{1}{5} xe^{-3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( c_1, c_2 \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

であることがわかる。

[5]

$A$ の固有値は $-1,-3$ であり、それぞれに属する固有ベクトルは、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 そこで、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{P}^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\\ \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} ,\\ \det \boldsymbol{P} &= -1 \end{aligned}$$

が成り立つ。 そこで、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおいて、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( \boldsymbol{x}^t \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \right) dx_1 dx_2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -y_1^2 -3y_2^2 \right) dy_1 dy_2 \\ &= \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -y_1^2 \right) dy_1 \int_{-\infty}^\infty \exp \left( -3y_2^2 \right) dy_2 \\ &= \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$