京都大学 理学研究科 地球惑星科学専攻 2022年8月実施 基礎科目 問題1

Author

Miyake

Description

[1]

次の積分を計算せよ．

[2]

行列の対角成分の和をトレースと呼ぶ． と を の正方行列とするとき， と のトレースが等しくなることを示せ．

[3]

次の行列の逆行列を求めよ．

[4]

次の微分方程式の一般解を求めよ．

[5]

以下の行列

について考える． であるとき，以下の積分の値を求めよ．

ここで，上添え字の は転置を表す．なお，

は，証明なしに用いてよい．

Kai

[1]

とおいて、次のように計算できる：

[2]

の 成分を とすると、

の 成分はそれぞれ

であり、 のトレースはそれぞれ

であるから、これらが等しいことがわかる。

[3]

[4]

まず、

に （ は によらない定数）を代入すると、

から

を得るので、この微分方程式の一般解は

であることがわかる。

次に、与えられた微分方程式に （ は によらない定数）を代入すると、

を得るので、与えられた微分方程式の一般解は

であることがわかる。

[5]

の固有値は であり、それぞれに属する固有ベクトルは、

である。 そこで、

とおくと、

が成り立つ。 そこで、

とおいて、次のように計算できる：