京都大学 理学研究科 化学専攻 2022年8月実施 物理学 基礎

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Author

Miyake

Description

問題要約

大学公表の原題

間隔 $d$ の無限平行平板に電位差 $V>0$ を与える。陰極を $x=0$、陽極を $x=d$ とし、$y$ 軸を板に平行に取る。磁場は $\boldsymbol B=(0,0,B)$（$B>0$）で、$xy$ 図では紙面の奥向きである。質量 $m$、電荷 $-e$（$e>0$）の電子を、時刻 $t=0$ に陰極の原点から初速度ゼロで放出する。電子間の相互作用を無視し、

$$A=\frac{V}{Bd},\qquad \omega=\frac{eB}{m}$$

と置く。速度成分を $v_x,v_y,v_z$ とする。

• 問 A：電場 $\boldsymbol E=(E_x,0,0)$ の $E_x$ を求める。

• 問 B：ローレンツ力から $\dot v_x,\dot v_y$ を $\omega,A,v_x,v_y$ で表す。

• 問 C：初期条件を用いて次の速度を導く。

  $$v_x=A\sin\omega t,\tag{6}$$
  $$v_y=A(1-\cos\omega t).\tag{7}$$

• 問 D：$x(t)$ を求める。その結果を式 (8) とする。もう一方の座標は $y(t)=A(\omega t-\sin\omega t)/\omega$ である。

• 問 E：$B$ が十分大きい場合の電子軌道を、次の候補から選ぶ。上向きが $x$、右向きが $y$ の正方向である。

• 問 F(a)：軌道の $x$ 座標の最大値が $d$ を下回ると電極間の電流は急減する。その境界となる磁場 $B_c$ を $d,V,m,e$ で表す。
• 問 F(b)：$B>B_c$ で、問 B の二式にそれぞれ減衰項 $-v_x/\tau,-v_y/\tau$ を加えた式を (10) とする。$t\gg\tau$ の定常速度を求め、速度と $x$ 軸との角が $45^\circ$ になる $\tau$ を $\omega$ で表す。

题目描述

间距为 $d$ 的无限大平行板间电势差为 $V>0$，阴极位于 $x=0$、阳极位于 $x=d$，$y$ 轴平行于板。磁场为 $\boldsymbol B=(0,0,B)$，$B>0$，在题图中指向纸面内。质量为 $m$、电荷为 $-e$（$e>0$）的电子在 $t=0$ 从阴极原点由静止释放，忽略电子间相互作用。令 $A=V/(Bd)$、$\omega=eB/m$。

• 问 A：求电场 $\boldsymbol E=(E_x,0,0)$ 的 $E_x$。
• 问 B：由 Lorentz 力，用 $\omega,A,v_x,v_y$ 表示 $\dot v_x,\dot v_y$。
• 问 C：用初始条件导出 $v_x=A\sin\omega t$、$v_y=A(1-\cos\omega t)$。
• 问 D：求 $x(t)$。另一坐标为 $y(t)=A(\omega t-\sin\omega t)/\omega$。
• 问 E：当 $B$ 足够大时，从上图六个选项中选出电子轨道；图中向上为 $+x$、向右为 $+y$。
• 问 F(a)：轨道最大 $x$ 坐标低于 $d$ 时，板间电流急剧下降。求临界磁场 $B_c$。
• 问 F(b)：在 $B>B_c$ 时，分别在两条速度方程中加入 $-v_x/\tau,-v_y/\tau$。求 $t\gg\tau$ 的稳态速度，并求使速度与 $x$ 轴成 $45^\circ$ 的 $\tau$。

Kai

問 A

$-V/d$

問 B

$\vec{v} \times \vec{B} = (v_yB, -v_xB, 0)$ なので、 $x,y$ 成分の運動方程式は

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} v_x &= \frac{-e}{m} \left( - \frac{V}{d} + v_yB \right) \\ &= \omega A - \omega v_y \\ \frac{d}{dt} v_y &= \frac{-e}{m} \left( - v_xB \right) \\ &= \omega v_x \end{aligned}$$

となる。

問 C

虚数単位を $i$ とすると、問 B の運動方程式から、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} (v_x + iv_y) &= \omega A - \omega v_y + i \omega v_x \\ &= i \omega (v_x + i v_y - iA) \end{aligned}$$

が得られるので、 $\xi = v_x + iv_y - iA$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} \xi &= i \omega \xi \end{aligned}$$

となるので、これを積分すると、

$$\begin{aligned} \xi &= c e^{i \omega t} \ \ \ \ \ \ \ \ ( c \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

を得る。 $t=0$ のとき $v_x=0, v_y=0$ であり $\xi=-iA$ であるから、 $c=-iA$ であり、

$$\begin{aligned} \xi &= -iA e^{i \omega t} \\ \therefore \ \ v_x + iv_y - iA &= -iA \left( \cos \omega t + i \sin \omega t \right) \\ \therefore \ \ v_x + iv_y &= A \sin \omega t + iA \left( 1 - \cos \omega t \right) \end{aligned}$$

となって、式 (6), (7) が得られる。

問 D

式 (6) を積分すると、

$$\begin{aligned} x = - \frac{A}{\omega} \cos \omega t + c \ \ \ \ \ \ \ \ ( c \text{ は積分定数 }) \end{aligned}$$

となるが、 $t=0$ のとき $x=0$ であるから、 $c=A/\omega$ であり、

$$\begin{aligned} x = \frac{A}{\omega} (1 - \cos \omega t) \end{aligned}$$

を得る。

問 E

（い）。$v_y=A(1-\cos\omega t)\ge0$ なので $y$ は単調非減少であり、軌道にループはない。 また $0\le x\le2A/\omega$ で、$t=2\pi n/\omega$ では $x=0$ と $v_x=v_y=0$ が同時に成立する。したがって、$y$ の正方向に進むサイクロイドである。

問 F

(a)

式 (8) によると $x$ の最大値は $2A/\omega$ であるから、求める $B_c$ は

$$\begin{aligned} \frac{2A}{\omega} = d \end{aligned}$$

が成り立つときの $B$ であり、

$$\begin{aligned} B_c = \frac{1}{d} \sqrt{\frac{2mV}{e}} \end{aligned}$$

がわかる。

(b)

定常運動のとき、式 (10) は次のようになる：

$$\begin{aligned} 0 &= \omega A - \omega v_y - \frac{1}{\tau} v_x \\ 0 &= \omega v_x - \frac{1}{\tau} v_y \end{aligned}$$

連立方程式を解くと、

$$v_x=\frac{\omega A\tau}{1+\omega^2\tau^2},\qquad v_y=\frac{\omega^2 A\tau^2}{1+\omega^2\tau^2}.$$

電子の速度方向とx軸とのなす角が45°になるということは $v_x=v_y$ ということであり、 2番目の式から、 $\tau = 1 / \omega$ を得る。