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京都大学 理学研究科 生物科学専攻 2025年8月実施 問題18

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

1 mol の理想気体が準静的に

1→断熱圧縮2→等積加熱3→断熱膨張4→等積冷却11\xrightarrow{\text{断熱圧縮}}2 \xrightarrow{\text{等積加熱}}3 \xrightarrow{\text{断熱膨張}}4 \xrightarrow{\text{等積冷却}}1

と変化するオットーサイクルを考える。状態方程式を PV=RTPV=RT、定積・定圧モル比熱を Cv,CpC_v,C_p とし、

Cp=Cv+R,PVγ=const.,γ=CpCvC_p=C_v+R,\qquad PV^\gamma=\text{const.},\qquad \gamma=\frac{C_p}{C_v}

とする。各状態量を Pi,Vi,TiP_i,V_i,T_i と書く。

  1. 系が外界から熱を受け取る過程を答えよ。

  2. その熱量 QQ を CvC_v と T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4 のうち必要なものを用いて表せ。

  3. 状態 3 から 4 の断熱膨張で系が外界にする仕事を V1,V2,P3,γV_1,V_2,P_3,\gamma で表せ。

  4. 1 サイクルで系が外界にする正味の仕事 WW を V1,V2,P2,P3,γV_1,V_2,P_2,P_3,\gamma で表せ。

  5. 圧縮比 ε=V1/V2\varepsilon=V_1/V_2 を用いて、熱効率が

    η=WQ=1−1εγ−1\eta=\frac{W}{Q}=1-\frac{1}{\varepsilon^{\gamma-1}}

    となることを示せ。

Kai​

(1)​

2⟶32\longrightarrow3

(2)​

等積過程より

Q=Cv(T3−T2).Q=C_v(T_3-T_2).

(3)​

V3=V2,V4=V1V_3=V_2, V_4=V_1 なので、

W3→4=∫V2V1P3(V2V)γdV=P3γ−1(V2−V2γV11−γ).\begin{aligned} W_{3\to4} &=\int_{V_2}^{V_1}P_3\left(\frac{V_2}{V}\right)^\gamma dV\\ &=\frac{P_3}{\gamma-1} \left(V_2-V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}\right). \end{aligned}

(4)​

同様に

W1→2=P2γ−1(V2γV11−γ−V2).W_{1\to2} =\frac{P_2}{\gamma-1} \left(V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}-V_2\right).

したがって

W=P3−P2γ−1(V2−V2γV11−γ).W=\frac{P_3-P_2}{\gamma-1} \left(V_2-V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}\right).

(5)​

R=(γ−1)CvR=(\gamma-1)C_v および V2=V3V_2=V_3 より、

Q=Cv(P3−P2)V2R=(P3−P2)V2γ−1.Q=C_v\frac{(P_3-P_2)V_2}{R} =\frac{(P_3-P_2)V_2}{\gamma-1}.

よって

η=WQ=1−(V2V1)γ−1=1−1εγ−1.\eta=\frac{W}{Q} =1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} =1-\frac{1}{\varepsilon^{\gamma-1}}.

Reference​

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