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京都大学 理学研究科 生物科学専攻 2025年8月実施 問題18

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

以下の文章を読んで、設問 (1)～(5) のすべてに答えよ。(3)～(5) については、答えだけでなく計算過程がわかるように解答すること。

オットーサイクルはガソリンエンジンに適用される熱力学モデルであり、下図のように、準静的に、断熱圧縮（状態1から状態2）、等積加圧（状態2から状態3）、断熱膨張（状態3から状態4）、等積減圧（状態4から状態1）のサイクルを繰り返す。

ピストンに入った理想気体1モルを考える。理想気体の状態方程式は PV=RTPV=RT で与えられる。P,V,R,TP,V,R,T はそれぞれ気体の圧力、体積、気体定数および絶対温度である。定積比熱を CvC_v、定圧比熱を CpC_p とすると、Cp=Cv+RC_p=C_v+R がなりたつ。また断熱過程において、PVγ=一定PV^\gamma=\text{一定} となる。ただしここで、γ=Cp/Cv\gamma=C_p/C_v である。以下の設問で数字の添え字は状態番号を表す。

オットーサイクルの状態と断熱過程

(1) オットーサイクルにおいて系が外界から熱を受け取るのはどの状態からどの状態への過程か、1から4の状態番号を用いて答えよ。

(2) 設問 (1) の過程において系が外界から受け取る熱量 QQ を、CvC_v と4つの状態の温度 T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4 のうち必要なものを用いて表せ。

(3) 状態3から状態4への断熱膨張において、系が外界に及ぼす仕事 WW を V1,V2,P3V_1,V_2,P_3 および γ\gamma を用いて表せ。

(4) オットーサイクルを一周したときに、系が外界に及ぼす仕事 WW を V1,V2,P2,P3V_1,V_2,P_2,P_3 および γ\gamma を用いて表せ。

(5) オットーサイクルの熱効率 η=W/Q\eta=W/Q が、圧縮比 ε=V1/V2\varepsilon=V_1/V_2 を用いて

η=1−1εγ−1\eta=1-\frac1{\varepsilon^{\gamma-1}}

となることを示せ。

题目描述​

阅读下文，回答 (1)～(5) 的全部问题。(3)～(5) 须写明计算过程，不能只写答案。

奥托循环是适用于汽油发动机的热力学模型。如图，系统准静态地反复经历绝热压缩（状态1到2）、等容增压（状态2到3）、绝热膨胀（状态3到4）和等容降压（状态4到1）。

考虑活塞内的1摩尔理想气体，其状态方程为 PV=RTPV=RT。P,V,R,TP,V,R,T 分别为气体压力、体积、气体常数及绝对温度。设定容比热为 CvC_v、定压比热为 CpC_p，有 Cp=Cv+RC_p=C_v+R。绝热过程中 PVγPV^\gamma 为常数，其中 γ=Cp/Cv\gamma=C_p/C_v。以下数字下标表示状态编号。

(1) 在奥托循环中，系统在哪两个状态之间的过程中从外界吸热？用状态编号1～4作答。

(2) 用 CvC_v 及 T1,T2,T3,T4T_1,T_2,T_3,T_4 中所需的量，表示 (1) 过程中从外界吸收的热量 QQ。

(3) 用 V1,V2,P3,γV_1,V_2,P_3,\gamma 表示状态3到4的绝热膨胀中系统对外界所做的功 WW。

(4) 用 V1,V2,P2,P3,γV_1,V_2,P_2,P_3,\gamma 表示完成一周奥托循环时系统对外界所做的功 WW。

(5) 用压缩比 ε=V1/V2\varepsilon=V_1/V_2，证明热效率 η=W/Q\eta=W/Q 满足

η=1−1εγ−1.\eta=1-\frac1{\varepsilon^{\gamma-1}}.

Kai​

(1)​

2⟶32\longrightarrow3

(2)​

等積過程より

Q=Cv(T3−T2).Q=C_v(T_3-T_2).

(3)​

V3=V2,V4=V1V_3=V_2, V_4=V_1 なので、

W3→4=∫V2V1P3(V2V)γdV=P3γ−1(V2−V2γV11−γ).\begin{aligned} W_{3\to4} &=\int_{V_2}^{V_1}P_3\left(\frac{V_2}{V}\right)^\gamma dV\\ &=\frac{P_3}{\gamma-1} \left(V_2-V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}\right). \end{aligned}

(4)​

同様に

W1→2=P2γ−1(V2γV11−γ−V2).W_{1\to2} =\frac{P_2}{\gamma-1} \left(V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}-V_2\right).

したがって

W=P3−P2γ−1(V2−V2γV11−γ).W=\frac{P_3-P_2}{\gamma-1} \left(V_2-V_2^\gamma V_1^{1-\gamma}\right).

(5)​

R=(γ−1)CvR=(\gamma-1)C_v および V2=V3V_2=V_3 より、

Q=Cv(P3−P2)V2R=(P3−P2)V2γ−1.Q=C_v\frac{(P_3-P_2)V_2}{R} =\frac{(P_3-P_2)V_2}{\gamma-1}.

よって

η=WQ=1−(V2V1)γ−1=1−1εγ−1.\eta=\frac{W}{Q} =1-\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} =1-\frac{1}{\varepsilon^{\gamma-1}}.

Reference​

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