京都大学 経営管理大学院 2022年8月実施 数学 第1問

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• Linear-Independence
• Gram-Schmidt-Orthogonalization
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Author

Miyake

Description

以下の設問全てに答えなさい．計算過程も必ず示すこと．

1. $f(x) = (\sin x + 1)^2$ とする．この関数のマクローリン級数を 2 次の項まで示せ．
2. $f(x, y) = \frac{1}{xy}$ とする．この関数で与えられる曲面上の点 $(\alpha, \beta)$ における接平面の式を求めよ．
3. 微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = x\log x\ \ (x>0)$ を解け．
4. $D = \{(x, y): x^2+y^2 \le 1, y\ge 0\}$ とする．$\iint_D y\ dxdy$ を求めよ．
5. $\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 5 \\ -7 \\ 0\end{bmatrix}$ は 1 次独立であるか，1 次従属であるか答えよ．その理由もあわせて具体的に述べよ．
6. $\boldsymbol{a}_1=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4\end{bmatrix}$, $\boldsymbol{a}_2=\begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix}$ とする．これらにもう一つのベクトル $\boldsymbol{a}_3$ を加えたうえで，$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ を利用して正規直交基底をつくれ．
7. 対称行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$ を対角化するための直交行列を求めよ．また，その結果を用いて対称行列 $A$ を対角化せよ．

题目描述

回答下列全部问题，并务必写出计算过程。

1. 设 $f(x)=(\sin x+1)^2$，写出其 Maclaurin 级数到二次项为止。

2. 设 $f(x,y)=\frac1{xy}$。求由该函数给出的曲面在参数点 $(\alpha,\beta)$ 对应位置处的切平面方程。

3. 求微分方程

   $$x\frac{dy}{dx}+y=x\log x,\qquad x>0$$

   的解。

4. 令

   $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1,\ y\geq0\}.$$

   计算

   $$\iint_Dy\,dx\,dy.$$

5. 判断向量

   $$\begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}-1\\1\\2\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}5\\-7\\0\end{bmatrix}$$

   线性无关还是线性相关，并具体说明理由。

6. 给定

   $$\boldsymbol a_1=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol a_2=\begin{bmatrix}-3\\-2\\1\end{bmatrix}.$$

   再加入一个向量 $\boldsymbol a_3$，并利用 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ 构造一组标准正交基。

7. 求一个用于对角化对称矩阵

   $$A= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}$$

   的正交矩阵，并用所得结果将 $A$ 对角化。

考点

• Taylor/Maclaurin 展开：组合三角函数的低阶展开并保留到指定阶。
• 切平面与一阶微分：由二元函数偏导数写出曲面切平面。
• 一阶线性微分方程：使用积分因子求通解。
• 极坐标二重积分：在半圆盘上转换积分区域和面积元。
• 线性无关与 Gram–Schmidt：判断向量组秩并构造标准正交基。
• 实对称矩阵正交对角化：求正交归一特征向量并组成正交矩阵。

Kai

1.

$$\begin{aligned} f(0) &= 1 \\ f'(x) &= 2 ( \sin x + 1 ) \cos x \\ f'(0) &= 2 \\ f''(x) &= 2 \left[ \cos^2 x - ( \sin x + 1 ) \sin x \right] \\ f''(0) &= 2 \end{aligned}$$

なので、 $f(x)$ の2次までのマクローリン展開は

$$\begin{aligned} 1 + 2 x + x^2 \end{aligned}$$

である。

2.

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{1}{x^2 y} , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{x y^2} \end{aligned}$$

なので、曲面 $z=f(x,y)$ の点 $(\alpha, \beta, 1/(\alpha \beta))$ における接平面の方程式は

$$\begin{aligned} z - \frac{1}{\alpha \beta} &= - \frac{1}{\alpha^2 \beta} (x - \alpha) - \frac{1}{\alpha \beta^2} (y - \beta) \\ \therefore \ \ z &= - \frac{x}{\alpha^2 \beta} - \frac{y}{\alpha \beta^2} + \frac{3}{\alpha \beta} \end{aligned}$$

である。

3.

まず、

$$\begin{aligned} x \frac{dy}{dx} + y &= 0 \\ \therefore \ \ \frac{dy}{y} &= - \frac{dx}{x} \end{aligned}$$

の一般解は

$$\begin{aligned} y = \frac{A}{x} \ \ \ \ \text{( $A$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

である。

そこで、 $A(x)$ を適当な関数として、 $y = A(x) / x$ を与えられた微分方程式に代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} = x^2 \log x \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} A(x) &= \int x^2 \log x \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

を得る。

したがって、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y &= \frac{1}{3} x^2 \log x - \frac{1}{9} x^2 + \frac{C}{x} \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{aligned}$$

であることがわかる。

4.

極座標 $x = r \cos \theta , \ y = r \sin \theta$ を導入すると、 $dxdy = r\ dr d \theta$ なので、

$$\begin{aligned} \iint_D y\ dx dy &= \int_0^1 r^2 \ dr \int_0^\pi \sin \theta \ d \theta \\ &= \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^1 \left[ - \cos \theta \right]_0^\pi \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

がわかる。

5.

6.

7.