京都大学 経営管理大学院 2022年8月実施 数学 第1問

Author

Miyake

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以下の設問全てに答えなさい．計算過程も必ず示すこと．

1. とする．この関数のマクローリン級数を 2 次の項まで示せ．
2. とする．この関数で与えられる曲面上の点 における接平面の式を求めよ．
3. 微分方程式 を解け．
4. とする． を求めよ．
5. , , は 1 次独立であるか，1 次従属であるか答えよ．その理由もあわせて具体的に述べよ．
6. , とする．これらにもう一つのベクトル を加えたうえで， を利用して正規直交基底をつくれ．
7. 対称行列 を対角化するための直交行列を求めよ．また，その結果を用いて対称行列 を対角化せよ．

Kai

1.

なので、 の2次までのマクローリン展開は

である。

2.

なので、曲面 の点 における接平面の方程式は

である。

3.

まず、

の一般解は

である。

そこで、 を適当な関数として、 を与えられた微分方程式に代入して整理すると、

となるので、

を得る。

したがって、与えられた微分方程式の一般解は

であることがわかる。

4.

極座標 を導入すると、 なので、

がわかる。

5.

6.

7.