京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2026年8月実施 信号処理

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• 离散时间系统的传递函数与频率响应
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AnonTokyo #83056

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以下の問題において $j$ は虚数単位 (imaginary unit)，$e$ はネイピア数（自然対数の底）(Napier's constant, base of natural logarithm)，$\pi$ は円周率を表す。

問題 1

わずかに異なる 2 つの角周波数 $\omega_1,\omega_2$（ただし $\omega_1>\omega_2>0$）を持つ余弦波の合成 (superposition of cosine waves) によって生じる，次の「うなり信号 (beat signal)」$x(t)$ を考える。

$$x(t)=\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_2t)$$

ここで，平均角周波数 $\omega_c$，及びうなり角周波数 $\Delta\omega$ を以下のように定義する。

$$\omega_c=\frac{\omega_1+\omega_2}{2},\qquad \Delta\omega=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}$$

以下の設問に答えよ。

(1) 三角関数の和積公式 (trigonometric sum-to-product formulas) を用いて，うなりの包絡線（エンベロープ，envelope）が満たす式を求めよ。

(2) 実信号 $x(t)=\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_2t)$ のフーリエ変換 $X(\omega)$ を求めよ。必要であれば，Dirac のデルタ関数に関する関係式 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega t}\,dt=2\pi\delta(\omega)$ を用いてよい。

(3) 設問 (2) の $X(\omega)$ に対して，負の角周波数成分を零とし，正の角周波数成分の振幅を 2 倍にした新しいスペクトル $Z(\omega)$ を以下のように定義する。

$$Z(\omega)=\begin{cases} 2X(\omega)&(\omega>0),\\ X(\omega)&(\omega=0),\\ 0&(\omega<0) \end{cases}$$

この $Z(\omega)$ を逆フーリエ変換 (inverse Fourier transform) して得られる時間領域の複素信号 (complex signal) $z(t)$ を求めよ。

(4) 設問 (3) の $z(t)$ が複素数平面上で時間変化する様子 (time course) を説明せよ（$z(t)$ を $\omega_c$ と $\Delta\omega$ を用いて表し考察せよ）。さらに，$|z(t)|$ が設問 (1) で求めたうなり信号の包絡線成分を与えることを示せ。

問題 2

デジタル信号処理に関する以下の設問に答えよ。ただし，$n$ は整数であり，また，本問題の $z$ 変換 ($z$-transform) は片側 $z$ 変換とする。

(1) 信号 $x(n)=n2^n$（$n\ge0$）の $z$ 変換 $X(z)$ を閉形式で求めよ。この際，絶対収束 (absolute convergence) する $z$ の領域も示すこと。$z$ 変換が定義できない場合は「存在しない」と答えよ。また，信号 $x(n)=(2^n)^n$（$n\ge0$）に対しても同様の問題を考え，その答えを与えよ。

(2) つぎのデジタルフィルタ (digital filter) を考える。

$$y(n)=x(n)+ax(n-1)+by(n-1)$$

ただし，$x(n)$ と $y(n)$ はそれぞれ実数値の入力信号，出力信号であり，任意の $n<0$ において $x(n)=0$ かつ $y(n)=0$ を満たすと仮定する。また，$a,b$ はある実数である。このフィルタにおいて $a=1$ かつ $b=0$ としたとき，どのような周波数選択特性 (frequency selective property) を持つか答えよ。

(3) 設問 (2) のデジタルフィルタにおいて $a=0.5$ とする。このフィルタが以下の条件を同時に満たすような実数 $b$ が存在するか否かを答えよ。存在する場合はその $b$ をすべて求めよ。

• FIR フィルタ (FIR filter) でない。
• 安定である (stable)。

Kai

問題 1

(1) うなりの包絡線

三角関数の和積公式 $\cos A+\cos B=2\cos((A+B)/2)\cos((A-B)/2)$ より，

$$x(t)=2\cos(\omega_ct)\cos(\Delta\omega\,t).$$

この信号の非負の包絡線振幅は

$$\boxed{A(t)=2|\cos(\Delta\omega\,t)|}$$

である。したがって上下の包絡線は $\pm A(t)$ で表せる。

(2) フーリエ変換

$\cos(\omega_0t)=(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})/2$ なので，

$$\mathcal{F}[\cos(\omega_0t)]=\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\bigr].$$

線形性により

$$\boxed{X(\omega)=\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_1)+\delta(\omega+\omega_1)+\delta(\omega-\omega_2)+\delta(\omega+\omega_2)\bigr]}.$$

(3) 複素信号

正の周波数成分を 2 倍し負の周波数成分を除くと

$$Z(\omega)=2\pi[\delta(\omega-\omega_1)+\delta(\omega-\omega_2)].$$

これを逆フーリエ変換すると

$$\boxed{z(t)=e^{j\omega_1t}+e^{j\omega_2t} =2\cos(\Delta\omega\,t)e^{j\omega_ct}}.$$

(4) 複素平面上の時間変化

$e^{j\omega_ct}$ は角速度 $\omega_c$ の回転を，$2\cos(\Delta\omega\,t)$ はゆっくり変化する符号付きの半径方向の伸縮を表す。半径因子が負のときは，正の半径と位相 $\pi$ の追加として解釈できる。半径因子が 0 になると軌跡は原点を通過する。

また $|e^{j\omega_ct}|=1$ より

$$\boxed{|z(t)|=2|\cos(\Delta\omega\,t)|=A(t)}.$$

従って $|z(t)|$ は (1) の包絡線成分に一致する。

問題 2

(1) 片側 $z$ 変換

$x(n)=n2^n$ に対して $q=2z^{-1}$ とおくと，

$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty nq^n=\frac{q}{(1-q)^2}\quad (|q|<1).$$

従って

$$\boxed{X(z)=\frac{2z}{(z-2)^2},\qquad\text{絶対収束領域： }|z|>2}.$$

次に $x(n)=(2^n)^n=2^{n^2}$ については，任意の有限な $z\ne0$ に対し

$$|x(n)z^{-n}|=2^{n^2}|z|^{-n}\longrightarrow\infty.$$

項が零に収束しないので，非空の収束領域は存在せず，通常の $z$ 変換は 存在しない。

(2) 周波数選択特性

$a=1,b=0$ のとき $y(n)=x(n)+x(n-1)$ であるから，

$$H(z)=1+z^{-1}.$$

周波数応答は

$$H(e^{j\omega})=1+e^{-j\omega}=2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2),$$

従って

$$\boxed{|H(e^{j\omega})|=2|\cos(\omega/2)|}.$$

$\omega=0$ の低周波成分はゲイン 2 で通過し，$\omega=\pi$ では零になる。したがって，これは 2 タップの FIR 低域通過フィルタ である。

(3) FIR でなく安定となる $b$

片側 $z$ 変換から

$$H(z)=\frac{1+az^{-1}}{1-bz^{-1}}=\frac{1+0.5z^{-1}}{1-bz^{-1}}.$$

極零相殺がなければ，$b\ne0$ のときインパルス応答は無限長となる。一方，$b=0$ のときは明らかに FIR である。また $b=-0.5$ のときは分子と分母が相殺して $H(z)=1$ となり，やはり FIR である。

残る因果系の BIBO 安定条件は極 $z=b$ に対して $|b|<1$ である。従って求める実数の全体は

$$\boxed{-1<b<1,\qquad b\ne0,\quad b\ne-0.5}$$

である。