京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2026年8月実施 数学【II】

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AnonTokyo #83056

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$\pi$ を円周率，$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。

問題 1

以下の設問に答えよ。

(1) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta$ の値を求めよ。

(2) $xy$ 平面で $\{(x,y)\mid x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ 0<\theta<\frac{\pi}{2},\ 0<r<\cos\theta\}$ の面積 (area) を求めよ。

(3) $\mathbb{R}^2$ で定義された実数値関数

$$f(x,y)=\frac{xy}{1+x^2+y^2+x^2y^2},\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^2$$

の最大値 (maximum value) および最小値 (minimum value) のそれぞれについて，存在するならばその値を求め，存在しないならばそのことを示せ。

問題 2

関数 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ を

$$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}$$

とする。以下の設問に答えよ。

(1) $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ の値を求めよ。

(2) $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)$ の値を求めよ。

Kai

問題 1

(1) 定積分

$\sin^3\theta=\sin\theta(1-\cos^2\theta)$ と変形し，$u=\cos\theta$ と置換する。

$$\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta =\int_0^1(1-u^2)\,du =\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_0^1 =\boxed{\frac23}.$$

(2) 面積

極座標の面積要素は $r\,dr\,d\theta$ である。したがって

$$S=\int_0^{\pi/2}\int_0^{\cos\theta}r\,dr\,d\theta =\frac12\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\boxed{\frac\pi8}.$$

(3) 最大値・最小値

分母は $(1+x^2)(1+y^2)$ と因数分解できるので，

$$f(x,y)=\frac{x}{1+x^2}\frac{y}{1+y^2}.$$

$1+x^2\ge2|x|$ より $|x/(1+x^2)|\le1/2$，同様に $|y/(1+y^2)|\le1/2$ である。等号はそれぞれ絶対値が 1 のときに成立する。よって

$$\boxed{\max f=\frac14,\qquad\min f=-\frac14}.$$

最大値は $(x,y)=(1,1),(-1,-1)$ で，最小値は $(1,-1),(-1,1)$ で達成される。

問題 2

(1) 一階偏微分

$f(h,0)=f(0,0)=0$ であるため，定義より

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0}.$$

(2) 混合偏微分

$y\ne0$ を固定すると，

$$\begin{aligned} f_x(0,y) &=\lim_{h\to0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac{h^2y-y^3}{h^2+y^2}=-y. \end{aligned}$$

(1) より $y=0$ でも $f_x(0,0)=0$ であり，$f_x(0,y)=-y$ がすべての $y$ で成り立つ。したがって

$$\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{-k-0}{k}=-1}.$$

なお，偏微分の順序を交換した値は $+1$ である。二階混合偏導関数の交換可能性を仮定してはならない。

$$\boxed{\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}k=-1.}$$

注意： 此题不能直接假设两个混合偏导数相等；实际上按相反次序得到 $f_{yx}(0,0)=1$。