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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2025年8月実施 確率統計

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

P(A)P(A) は事象 AA の確率、E[X]E[X] は確率変数 XX の期待値を表す。解答では導出過程も示せ。

問題1​

正の実数値を取る確率変数 XX の累積分布関数は

FX(x)=exp⁡ ⁣[−(xs)−α],x>0,α>0, s>0F_X(x)=\exp\!\left[-\left(\frac xs\right)^{-\alpha}\right],\quad x>0,\quad\alpha>0,\ s>0

である。

(1) Y=1/XY=1/X の累積分布関数 FY(y)F_Y(y) を α,s\alpha,s を用いて表せ。

(2) X1,…,XnX_1,\ldots,X_n が独立に FXF_X に従うとき、Z=max⁡{X1,…,Xn}Z=\max\{X_1,\ldots,X_n\} の累積分布関数を n,α,sn,\alpha,s で表せ。

(3) α\alpha を既知とする。ZZ を用いて ss の信頼区間 S(Z)=(0,T(Z)]S(Z)=(0,T(Z)] を構成する。0<β<10<\beta<1 に対し P(s∈S(Z))=1−βP(s\in S(Z))=1-\beta となる関数 T(z)T(z) を z,n,α,βz,n,\alpha,\beta で表せ。

問題2​

XX は Gamma 分布に従い、密度は

g(x;α,β)=βαΓ(α)xα−1e−βx,x>0,α,β>0.g(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0,\quad\alpha,\beta>0.

ここで Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt (z>0z>0)、Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) である。X=xX=x の条件下で Y1,…,Yn+1Y_1,\ldots,Y_{n+1} は独立に Poisson(x)(x) に従い、

P(Yi=y∣X=x)=e−xxyy!,y=0,1,…P(Y_i=y\mid X=x)=\frac{e^{-x}x^y}{y!},\qquad y=0,1,\ldots

とする。α,β\alpha,\beta は既知、y1,…,yny_1,\ldots,y_n は観測された非負整数であり、XX の条件付き密度を f(x∣y1,…,yn)f(x\mid y_1,\ldots,y_n) と書く。

(1) この密度を g(x;α^,β^)g(x;\widehat\alpha,\widehat\beta) と表し、α^,β^\widehat\alpha,\widehat\beta を求めよ。以後はこれらの記号を用いてよい。

(2) 条件付き密度を最大にする xx を求めよ。

(3) E[X∣y1,…,yn]E[X\mid y_1,\ldots,y_n] を求めよ。

(4) E[Yn+1∣y1,…,yn]E[Y_{n+1}\mid y_1,\ldots,y_n] を求めよ。

(5) P(Yn+1=y∣y1,…,yn)P(Y_{n+1}=y\mid y_1,\ldots,y_n) を求めよ。

题目描述​

P(A)P(A) 表示事件概率，E[X]E[X] 表示期望；解答须写推导过程。

问题 1：正值随机变量 XX 的累积分布函数为

FX(x)=exp⁡[−(x/s)−α],x>0,α,s>0.F_X(x)=\exp[-(x/s)^{-\alpha}],\quad x>0,\quad\alpha,s>0.

（1）用 α,s\alpha,s 表示 Y=1/XY=1/X 的分布函数。

（2）X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 独立同分布于 FXF_X，求最大值 ZZ 的分布函数。

（3）已知 α\alpha，用 ZZ 构造 ss 的置信区间 S(Z)=(0,T(Z)]S(Z)=(0,T(Z)]。给定 0<β<10<\beta<1，用 z,n,α,βz,n,\alpha,\beta 表示使 P(s∈S(Z))=1−βP(s\in S(Z))=1-\beta 成立的 T(z)T(z)。

问题 2：XX 服从 Gamma 分布，其密度为

g(x;α,β)=βαΓ(α)xα−1e−βx,x>0,α,β>0.g(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0,\quad\alpha,\beta>0.

其中 Γ(z)=∫0∞tz−1e−t dt\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt（z>0z>0），满足 Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)。给定 X=xX=x，Y1,…,Yn+1Y_1,\ldots,Y_{n+1} 条件独立且服从 Poisson(x)(x)：

P(Yi=y∣X=x)=e−xxy/y!,y=0,1,….P(Y_i=y\mid X=x)=e^{-x}x^y/y!,\quad y=0,1,\ldots.

已知参数 α,β\alpha,\beta，观测值 y1,…,yny_1,\ldots,y_n 为非负整数，将 XX 的后验密度记为 f(x∣y1,…,yn)f(x\mid y_1,\ldots,y_n)。

（1）证明该密度可写为 g(x;α^,β^)g(x;\widehat\alpha,\widehat\beta) 并求出两个新参数；以下可用此记号。

（2）求使后验密度最大的 xx。

（3）求 XX 的后验期望。

（4）求 Yn+1Y_{n+1} 的后验预测期望。

（5）求后验预测概率 P(Yn+1=y∣y1,…,yn)P(Y_{n+1}=y\mid y_1,\ldots,y_n)。

Kai​

問題1​

(1) y>0y>0 では P(Y≤y)=P(X≥1/y)=1−FX(1/y)P(Y\le y)=P(X\ge1/y)=1-F_X(1/y)。従って

FY(y)={0,y≤0,1−e−(sy)α,y>0.\boxed{F_Y(y)=\begin{cases}0,&y\le0,\\1-e^{-(sy)^\alpha},&y>0.\end{cases}}

(2) 独立性より

FZ(z)={0,z≤0,e−n(z/s)−α,z>0.\boxed{F_Z(z)=\begin{cases}0,&z\le0,\\e^{-n(z/s)^{-\alpha}},&z>0.\end{cases}}

(3) U=Z/sU=Z/s は P(U≤u)=e−nu−αP(U\le u)=e^{-nu^{-\alpha}} に従う。q=(n/(−log⁡β))1/αq=(n/(-\log\beta))^{1/\alpha} とすれば P(U≥q)=1−βP(U\ge q)=1-\beta だから

T(z)=z(−log⁡βn)1/α.\boxed{T(z)=z\left(\frac{-\log\beta}{n}\right)^{1/\alpha}}.

問題2​

(1) Bayes の公式より

f(x∣y)∝xα−1e−βx∏i=1ne−xxyi=xα+∑iyi−1e−(β+n)x.f(x\mid\mathbf y)\propto x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\prod_{i=1}^ne^{-x}x^{y_i} =x^{\alpha+\sum_i y_i-1}e^{-(\beta+n)x}.

Gamma 密度として正規化して

α^=α+∑iyi,β^=β+n.\boxed{\widehat\alpha=\alpha+\sum_i y_i,\qquad\widehat\beta=\beta+n}.

(2) 対数密度の微分は (α^−1)/x−β^(\widehat\alpha-1)/x-\widehat\beta。従って α^>1\widehat\alpha>1 のとき

xmax⁡=(α^−1)/β^.\boxed{x_{\max}=(\widehat\alpha-1)/\widehat\beta}.

0<α^≤10<\widehat\alpha\le1 では密度は x>0x>0 上で狭義単調減少し、最大点は存在しない。x↓0x\downarrow0 で上限に近づく（α^<1\widehat\alpha<1 なら発散）。

(3) Gamma 関数の漸化式により

E[X∣y]=Γ(α^+1)β^Γ(α^)=α^β^.E[X\mid\mathbf y]=\frac{\Gamma(\widehat\alpha+1)}{\widehat\beta\Gamma(\widehat\alpha)}=\boxed{\frac{\widehat\alpha}{\widehat\beta}}.

(4) E[Yn+1∣X]=XE[Y_{n+1}\mid X]=X と条件付き期待値の反復則より E[Yn+1∣y]=α^/β^\boxed{E[Y_{n+1}\mid\mathbf y]=\widehat\alpha/\widehat\beta}。

(5) XX を積分消去して

P(Yn+1=y∣y)=β^α^y!Γ(α^)∫0∞xy+α^−1e−(β^+1)x dx=Γ(y+α^)y!Γ(α^)(β^β^+1)α^(1β^+1)y,y=0,1,….\begin{aligned} P(Y_{n+1}=y\mid\mathbf y) &=\frac{\widehat\beta^{\widehat\alpha}}{y!\Gamma(\widehat\alpha)}\int_0^\infty x^{y+\widehat\alpha-1}e^{-(\widehat\beta+1)x}\,dx\\ &=\boxed{\frac{\Gamma(y+\widehat\alpha)}{y!\Gamma(\widehat\alpha)} \left(\frac{\widehat\beta}{\widehat\beta+1}\right)^{\widehat\alpha} \left(\frac1{\widehat\beta+1}\right)^y},\quad y=0,1,\ldots. \end{aligned}
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