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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2025年8月実施 複素関数論

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

ii は虚数単位、ee は自然対数の底、π\pi は円周率、Z\mathbb Z は整数全体とする。Re⁡z,Im⁡z\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z は複素数 zz の実部と虚部を表す。

問題1​

(1) tanh⁡z=(ez−e−z)/(ez+e−z)\tanh z=(e^z-e^{-z})/(e^z+e^{-z}) と定義する。tanh⁡z=−3\tanh z=-3 の解をすべて求めよ。

(2) x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z とおく。実定数 aa に対し fa(z)=x2+ay2f_a(z)=x^2+ay^2 が複素平面上のある領域で正則となる aa が存在するか。存在すれば aa とその領域を、存在しなければその証明を与えよ。

(3) f(z)=∑n=0∞z2n(2n)!\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{2n}}{(2n)!} の収束半径と f(πi)f(\pi i) を求めよ。ただし 0!=10!=1 とする。

問題2​

複素数パラメータ ξ\xi に対し

f(z)=e−2πizξcosh⁡πz,cosh⁡z=ez+e−z2f(z)=\frac{e^{-2\pi iz\xi}}{\cosh\pi z},\qquad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}2

とおく。ξ≠ni/2\xi\ne ni/2 (n∈Zn\in\mathbb Z) として、∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx を ξ\xi の関数として求めたい。R>0R>0 に対し CRC_R は、頂点 −R,R,R+2i,−R+2i-R,R,R+2i,-R+2i をこの順に通る反時計回りの長方形であり、各辺を順に C1,C2,C3,C4C_1,C_2,C_3,C_4 とする。 積分路 C_R

(1) 複素数 α\alpha に対し lim⁡z→αz−αeπz−eπα\displaystyle\lim_{z\to\alpha}\frac{z-\alpha}{e^{\pi z}-e^{\pi\alpha}} を求めよ。

(2) CRC_R の内部にある ff のすべての極の位数と留数を求めよ。

(3) IR=∫C1f(z) dzI_R=\int_{C_1}f(z)\,dz とおく。∫C3f(z) dz\int_{C_3}f(z)\,dz を IRI_R で表せ。

(4) ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx を求めよ。C2,C4C_2,C_4 上の積分は R→∞R\to\infty で 00 となることを導出なしに用いてよい。

题目描述​

ii 为虚数单位，ee 为自然对数的底，π\pi 为圆周率，Z\mathbb Z 为整数集，Re⁡z,Im⁡z\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z 分别为实部与虚部。

问题 1：（1）定义 tanh⁡z=(ez−e−z)/(ez+e−z)\tanh z=(e^z-e^{-z})/(e^z+e^{-z})，求 tanh⁡z=−3\tanh z=-3 的全部解。

（2）令 x=Re⁡z,y=Im⁡zx=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z。判断是否存在实常数 aa，使 fa(z)=x2+ay2f_a(z)=x^2+ay^2 在复平面的某个区域内全纯；若存在，给出 aa 与该区域，否则证明不存在。

（3）求 f(z)=∑n=0∞z2n/(2n)!f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{2n}/(2n)! 的收敛半径与 f(πi)f(\pi i)，其中 0!=10!=1。

问题 2：对复参数 ξ≠ni/2\xi\ne ni/2（n∈Zn\in\mathbb Z），令

f(z)=e−2πizξ/cosh⁡(πz),cosh⁡z=(ez+e−z)/2.f(z)=e^{-2\pi iz\xi}/\cosh(\pi z),\qquad\cosh z=(e^z+e^{-z})/2.

拟求 ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx 关于 ξ\xi 的表达式。R>0R>0，矩形闭合路径 CRC_R 依次经过 −R,R,R+2i,−R+2i-R,R,R+2i,-R+2i，逆时针走一周；四条边依次记作 C1,C2,C3,C4C_1,C_2,C_3,C_4（见上图）。

（1）求 lim⁡z→α(z−α)/(eπz−eπα)\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)/(e^{\pi z}-e^{\pi\alpha})，其中 α\alpha 为复数。

（2）求 CRC_R 内全部极点的阶数和留数。

（3）令 IR=∫C1f(z) dzI_R=\int_{C_1}f(z)\,dz，用 IRI_R 表示 C3C_3 上的积分。

（4）求上述实轴积分；允许直接使用两侧竖边积分在 R→∞R\to\infty 时趋于 00 的结论。

Kai​

問題1​

(1) 4e2z=−24e^{2z}=-2 より

z=−log⁡22+i(π2+kπ),k∈Z.\boxed{z=-\frac{\log2}{2}+i\left(\frac\pi2+k\pi\right),\quad k\in\mathbb Z}.

これらでは e2z+1=1/2≠0e^{2z}+1=1/2\ne0 なので元の式も満たす。

(2) 実部 u=x2+ay2u=x^2+ay^2、虚部 v=0v=0 に Cauchy–Riemann 方程式を適用すると 2x=0,2ay=02x=0,2ay=0 が必要となる。しかし開領域が直線 x=0x=0 に含まれることはない。従ってそのような aa は存在しない。

(3) 隣接項の絶対値比は ∣z∣2/((2n+2)(2n+1))→0|z|^2/((2n+2)(2n+1))\to0。従って収束半径は ∞\infty。f(z)=(ez+e−z)/2f(z)=(e^z+e^{-z})/2 より f(πi)=−1\boxed{f(\pi i)=-1}。

問題2​

(1) 指数関数の微分より e−πα/π\boxed{e^{-\pi\alpha}/\pi}。

(2) cosh⁡πz=0\cosh\pi z=0 は z=i(k+1/2)z=i(k+1/2)。内部の二極 i/2,3i/2i/2,3i/2 は単純極で、

Res⁡(f,i/2)=eπξπi,Res⁡(f,3i/2)=−e3πξπi.\operatorname{Res}(f,i/2)=\frac{e^{\pi\xi}}{\pi i},\qquad \operatorname{Res}(f,3i/2)=-\frac{e^{3\pi\xi}}{\pi i}.

(3) f(x+2i)=e4πξf(x)f(x+2i)=e^{4\pi\xi}f(x) であり上辺の向きが逆だから、∫C3f dz=−e4πξIR\boxed{\int_{C_3}f\,dz=-e^{4\pi\xi}I_R}。

(4) 留数定理と両側辺の極限より

(1−e4πξ)I=2(eπξ−e3πξ),I=2eπξ1+e2πξ=1cosh⁡πξ.(1-e^{4\pi\xi})I=2(e^{\pi\xi}-e^{3\pi\xi}),\qquad \boxed{I=\frac{2e^{\pi\xi}}{1+e^{2\pi\xi}}=\frac1{\cosh\pi\xi}}.

通常の広義積分としてこの式が成り立つ範囲は ∣Im⁡ξ∣<1/2|\operatorname{Im}\xi|<1/2 である。実際、ξ=u+iv\xi=u+iv とすれば被積分関数の絶対値は e2πvx/cosh⁡πxe^{2\pi vx}/\cosh\pi x であり、この条件下で両端とも指数的に減衰する。範囲外では広義積分は収束せず、右辺は解析接続としての値となる。

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