京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施専門科目確率統計

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以下の問題において，は確率変数の期待値，は分散を表す。は期待値，分散の正規分布を表す。は自然対数を表す。

既知の定数は区間に含まれるとし，既知のは上の連続関数とする。確率変数は独立に正規分布にしたがい，

である。ただし，実数は未知パラメータである。定数を用いて，の推定量

とする。以下の設問に答えよ。

(1) 推定量の期待値と分散を求めよ。

(2) が不偏推定量となるためのについての必要十分条件を示せ。

(3) が不偏推定量となる条件のもとで，の分散を最小にするを求めよ。

(4) の最尤推定量を求めよ。

(5) とする。設問 (3) で求めたを用いるとき，の推定精度を最大とするように，の値を設定せよ。

を実数値確率変数とする。をの確率分布の確率密度関数とし、は実数およびを用いて次のように与えられるとする。

ただし、はそれぞれ , を満たす。以下の設問に答えよ。

(1) 確率変数の期待値を求めよ。

(2) とする。がしたがう確率分布の確率密度関数を求めよ。

(3) に対し、次のような関係を満たす確率密度関数を考える。

ただし、のときとする。におけるを求めよ。

(4) と設問 (3) で与えたに対してを次のように定義する。

このときを次に定義されると，およびを用いて表せ。