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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2024年8月実施 数学【II】

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AKIRA (小红书:94184092292)

Description​

ee をネイピア数（自然対数の底）、R\mathbb{R} を実数全体からなる集合とする。また、ベクトル x\boldsymbol{x} の転置を xT\boldsymbol{x}^\mathrm{T} で表す。

問題1​

以下の設問に答えよ。

(1) 実数 x>0x > 0 に対して f(x)=xlog⁡xf(x) = x \log x とする。

  • (i) y=f(x)y = f(x) のグラフの概形を、極値をとる点を含めて xyxy 平面上に描け。また、f(x)=yf(x) = y となる x>0x > 0 が一意に定まるような実数 yy の範囲を求めよ。
  • (ii) ∫f(x) dx\int f(x) \, dx を求めよ。
  • (iii) 設問 (i) で求めた範囲の yy について、f(x)=yf(x) = y となる xx を f−1(y)f^{-1}(y) で表す。∫f−1(y) dy\int f^{-1}(y) \, dy を yy および関数 f−1f^{-1} を用いて表せ。

(2) nn を正の整数とする。実数 cc に対して数列 a1,a2,…a_1, a_2, \ldots が以下を満たすものとする。

a1=can+1=an+1−ean,n=1,2,…\begin{aligned} a_1 &= c \\ a_{n+1} &= a_n + 1 - e^{a_n}, \quad n = 1, 2, \ldots \end{aligned}
  • (i) a2<a1a_2 < a_1 となるための cc の必要十分条件を求めよ。
  • (ii) c=1/2c = 1/2 とする。極限 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n を求めよ。極限が存在しない場合は、そのことを示せ。ただし e=1.648…\sqrt{e} = 1.648\ldots を用いてもよい。

問題2​

以下の設問に答えよ。

(i) a,ba, b を b>a>0b > a > 0 を満たす定数とし、22 次元ユークリッド空間内の楕円

{(x,y)∈R2 | x2a2+y2b2=1}\left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \right\}

を考える。点 PP がこの楕円上を動くとき、点 PP と点 (a,0)(a, 0) の距離の最大値を求めよ。

(ii) c=(c1,…,cn)T≠0\boldsymbol{c} = (c_1, \ldots, c_n)^\mathrm{T} \neq \boldsymbol{0} を nn 次元ユークリッド空間の定数ベクトル、dd を定数とし、

nn 次元ユークリッド空間内の超平面

{x=(x1,…,xn)T∈Rn | cTx=d}\left\{ \boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n \ \middle| \ \boldsymbol{c}^\mathrm{T} \boldsymbol{x} = d \right\}

を考える。原点からこの超平面までの距離を求めよ。ただし、

0=(0,…,0)T∈Rn\boldsymbol{0} = (0, \ldots, 0)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n

とする。

(iii) 実数 p,qp, q に対して，

V=∬D(2−epx2−eqy2)dxdyV = \iint_D \left( 2 - e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \right) dx dy

を求めよ。ただし，

D={(x,y)∈R2 | epx2−eqy2≤2}D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \leq 2 \right\}

とする。

题目描述​

以下 ee 表示自然对数的底，R\mathbb R 表示实数集，向量 x\boldsymbol x 的转置记作 xT\boldsymbol x^{\mathrm T}。

  1. 回答下列问题。

    （1）对实数 x>0x>0 定义

    f(x)=xlog⁡x.f(x)=x\log x.

    1. 在 xyxy 平面上画出 y=f(x)y=f(x) 的概形，并标出极值点；求使方程 f(x)=yf(x)=y 的正实数解 xx 唯一确定时实数 yy 的范围。

    2. 求不定积分 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx。

    3. 对第 1 小问所得范围内的 yy，把满足 f(x)=yf(x)=y 的 xx 记作 f−1(y)f^{-1}(y)。用 yy 和函数 f−1f^{-1} 表示

      ∫f−1(y) dy.\int f^{-1}(y)\,dy.

    （2）设 nn 为正整数。对实数 cc，数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 满足

    a1=c,an+1=an+1−ean,n=1,2,….a_1=c,\qquad a_{n+1}=a_n+1-e^{a_n}, \qquad n=1,2,\ldots.

    1. 求 a2<a1a_2<a_1 时 cc 的充要条件。

    2. 令 c=12c=\frac12，求

      lim⁡n→∞an.\lim_{n\to\infty}a_n.

      若极限不存在，则证明其不存在。可使用 e=1.648…\sqrt e=1.648\ldots。

  2. 回答下列问题。

    （i）设常数 b>a>0b>a>0，考虑二维 Euclidean 空间中的椭圆

    {(x,y)∈R2 | x2a2+y2b2=1}.\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\ \middle|\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \right\}.

    当点 PP 在该椭圆上移动时，求 PP 与点 (a,0)(a,0) 之间距离的最大值。

    （ii）在 nn 维 Euclidean 空间中，给定非零常向量

    c=(c1,…,cn)T≠0\boldsymbol c=(c_1,\ldots,c_n)^{\mathrm T}\ne\boldsymbol0

    和常数 dd，考虑超平面

    {x=(x1,…,xn)T∈Rn | cTx=d},\left\{ \boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathrm T}\in\mathbb R^n \ \middle|\ \boldsymbol c^{\mathrm T}\boldsymbol x=d \right\},

    其中

    0=(0,…,0)T∈Rn.\boldsymbol0=(0,\ldots,0)^{\mathrm T}\in\mathbb R^n.

    求原点到该超平面的距离。

    （iii）对实数 p,qp,q，计算

    V=∬D(2−epx2−eqy2) dx dy,V=\iint_D \left(2-e^px^2-e^qy^2\right)\,dx\,dy,

    其中

    D={(x,y)∈R2 | epx2−eqy2≤2}.D= \left\{(x,y)\in\mathbb R^2\ \middle|\ e^px^2-e^qy^2\leq2 \right\}.

考点​

  • 局部极值与反函数积分：分析 xlog⁡xx\log x 的单调区间，并利用反函数图形或分部积分求原函数。
  • 非线性递推收敛：研究迭代映射的不动点、单调性和不变区间。
  • 椭圆上的距离优化：把距离平方参数化或使用 Lagrange 乘数求全局最大值。
  • 点到超平面的距离：用法向量投影求 nn 维公式。
  • 二重积分与无界区域：通过尺度变换分析给定二次区域上的积分及其收敛性。

Kai​

問題1​

問題2​

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