京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施数学【II】

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$e$ をネイピア数（自然対数の底）、 $\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。また、ベクトル $\boldsymbol{x}$ の転置を $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}$ で表す。

以下の設問に答えよ。

(1) 実数 $x > 0$ に対して $f(x) = x \log x$ とする。

(i) $y = f(x)$ のグラフの概形を、極値をとる点を含めて $xy$ 平面上に描け。また、 $f(x) = y$ となる $x > 0$ が一意に定まるような実数 $y$ の範囲を求めよ。
(ii) $\int f(x) \, dx$ を求めよ。
(iii) 設問 (i) で求めた範囲の $y$ について、 $f(x) = y$ となる $x$ を $f^{-1}(y)$ で表す。 $\int f^{-1}(y) \, dy$ を $y$ および関数 $f^{-1}$ を用いて表せ。

(2) $n$ を正の整数とする。実数 $c$ に対して数列 $a_1, a_2, \ldots$ が以下を満たすものとする。

\begin{aligned} a_1 &= c \\ a_{n+1} &= a_n + 1 - e^{a_n}, \quad n = 1, 2, \ldots \end{aligned}

(i) $a_2 < a_1$ となるための $c$ の必要十分条件を求めよ。
(ii) $c = 1/2$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。極限が存在しない場合は、そのことを示せ。ただし $\sqrt{e} = 1.648\ldots$ を用いてもよい。

以下の設問に答えよ。

(i) $a, b$ を $b > a > 0$ を満たす定数とし、 $2$ 次元ユークリッド空間内の楕円

\left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \right\}

を考える。点 $P$ がこの楕円上を動くとき、点 $P$ と点 $(a, 0)$ の距離の最大値を求めよ。

(ii) $\boldsymbol{c} = (c_1, \ldots, c_n)^\mathrm{T} \neq \boldsymbol{0}$ を $n$ 次元ユークリッド空間の定数ベクトル、 $d$ を定数とし、

$n$ 次元ユークリッド空間内の超平面

\left\{ \boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n \ \middle| \ \boldsymbol{c}^\mathrm{T} \boldsymbol{x} = d \right\}

を考える。原点からこの超平面までの距離を求めよ。ただし、

\boldsymbol{0} = (0, \ldots, 0)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n

とする。

(iii) 実数 $p, q$ に対して，

V = \iint_D \left( 2 - e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \right) dx dy

を求めよ。ただし，

D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \leq 2 \right\}

とする。