跳到主要内容

京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2024年8月実施 数学【II】

标签：

Author​

AKIRA (小红书:94184092292), 祭音Myyura

Description​

ee をネイピア数（自然対数の底）、 R\mathbb{R} を実数全体からなる集合とする。また、ベクトル x\boldsymbol{x} の転置を xT\boldsymbol{x}^\mathrm{T} で表す。

問題1​

以下の設問に答えよ。

(1) 実数 x>0x > 0 に対して f(x)=xlog⁡xf(x) = x \log x とする。

  • (i) y=f(x)y = f(x) のグラフの概形を、極値をとる点を含めて xyxy 平面上に描け。また、 f(x)=yf(x) = y となる x>0x > 0 が一意に定まるような実数 yy の範囲を求めよ。
  • (ii) ∫f(x) dx\int f(x) \, dx を求めよ。
  • (iii) 設問 (i) で求めた範囲の yy について、 f(x)=yf(x) = y となる xx を f−1(y)f^{-1}(y) で表す。 ∫f−1(y) dy\int f^{-1}(y) \, dy を yy および関数 f−1f^{-1} を用いて表せ。

(2) nn を正の整数とする。実数 cc に対して数列 a1,a2,…a_1, a_2, \ldots が以下を満たすものとする。

a1=can+1=an+1−ean,n=1,2,…\begin{aligned} a_1 &= c \\ a_{n+1} &= a_n + 1 - e^{a_n}, \quad n = 1, 2, \ldots \end{aligned}
  • (i) a2<a1a_2 < a_1 となるための cc の必要十分条件を求めよ。
  • (ii) c=1/2c = 1/2 とする。極限 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n を求めよ。極限が存在しない場合は、そのことを示せ。ただし e=1.648…\sqrt{e} = 1.648\ldots を用いてもよい。

問題2​

以下の設問に答えよ。

(i) a,ba, b を b>a>0b > a > 0 を満たす定数とし、 22 次元ユークリッド空間内の楕円

{(x,y)∈R2 | x2a2+y2b2=1}\left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \right\}

を考える。点 PP がこの楕円上を動くとき、点 PP と点 (a,0)(a, 0) の距離の最大値を求めよ。

(ii) c=(c1,…,cn)T≠0\boldsymbol{c} = (c_1, \ldots, c_n)^\mathrm{T} \neq \boldsymbol{0} を nn 次元ユークリッド空間の定数ベクトル、 dd を定数とし、

nn 次元ユークリッド空間内の超平面

{x=(x1,…,xn)T∈Rn | cTx=d}\left\{ \boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n \ \middle| \ \boldsymbol{c}^\mathrm{T} \boldsymbol{x} = d \right\}

を考える。原点からこの超平面までの距離を求めよ。ただし、

0=(0,…,0)T∈Rn\boldsymbol{0} = (0, \ldots, 0)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n

とする。

(iii) 実数 p,qp, q に対して，

V=∬D(2−epx2−eqy2)dxdyV = \iint_D \left( 2 - e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \right) dx dy

を求めよ。ただし，

D={(x,y)∈R2 | epx2−eqy2≤2}D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle| \ e^{p} x^2 - e^{q} y^2 \leq 2 \right\}

とする。

题目描述​

下文中 ee 表示自然对数的底，R\mathbb{R} 表示实数集， xT\boldsymbol{x}^{\mathrm T} 表示向量 x\boldsymbol{x} 的转置。回答以下两题。

  1. 完成下列各问。

    1. 对 x>0x>0 定义
f(x)=xlog⁡x.f(x)=x\log x.
  1. 在 $xy$ 平面上画出 $y=f(x)$ 的大致图形并标明极值点；求所有使方程
     $f(x)=y$ 的正实数解 $x$ 唯一确定的实数 $y$。
  2. 求不定积分 $\int f(x)\,dx$。
  3. 对上一小问所得唯一可解范围内的 $y$，把满足
     $f(x)=y$ 的正数 $x$ 记作 $f^{-1}(y)$。仅用 $y$ 和函数
     $f^{-1}$ 表示
∫f−1(y) dy.\int f^{-1}(y)\,dy.
  1. 对实数 cc 定义数列
a1=c,an+1=an+1−ean,n=1,2,…,a_1=c,\qquad a_{n+1}=a_n+1-e^{a_n}, \qquad n=1,2,\ldots,

其中 nn 为正整数。

  1. 求 $a_2<a_1$ 成立时 $c$ 的充要条件。
  2. 令 $c=\frac12$。求
lim⁡n→∞an;\lim_{n\to\infty}a_n;

若极限不存在，则证明不存在。可以使用 e=1.648…\sqrt e=1.648\ldots。

  1. 完成下列各问。

    1. 设常数 b>a>0b>a>0，考虑二维 Euclidean 空间中的椭圆
{(x,y)∈R2 | x2a2+y2b2=1}.\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \middle|\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \right\}.

当点 PP 在椭圆上移动时，求 PP 到固定点 (a,0)(a,0) 的最大距离。

  1. 在 nn 维 Euclidean 空间中，给定非零常向量
c=(c1,…,cn)T≠0\boldsymbol{c} =(c_1,\ldots,c_n)^{\mathrm T} \ne\boldsymbol{0}

和常数 dd，考虑超平面

{x=(x1,…,xn)T∈Rn | cTx=d},\left\{ \boldsymbol{x} =(x_1,\ldots,x_n)^{\mathrm T} \in\mathbb{R}^n \ \middle|\ \boldsymbol{c}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}=d \right\},

其中 0=(0,…,0)T∈Rn\boldsymbol{0}=(0,\ldots,0)^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^n。求原点到该超平面的距离。

  1. 对实数 p,qp,q，计算
V=∬D(2−epx2−eqy2) dx dy,V =\iint_D \left(2-e^p x^2-e^q y^2\right)\,dx\,dy,

其中现有题面把区域写为

D={(x,y)∈R2 | epx2−eqy2≤2}.D= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \middle|\ e^p x^2-e^q y^2\leq2 \right\}.

这里区域条件确为减号，而被积函数中的两个二次项均为减号；按此文字 DD 是无界区域，故 VV 只能按广义二重积分理解。现有 Kai 仅为外链图片，仓库内没有可用于唯一判定该处是否漏写加号的文字内容，因此不擅自改正这一符号。

Kai​

問題1​

問題2​

問題2 (i), (iii) の訂正​

(i) 楕円上で y2=b2(1−x2/a2)y^2=b^2(1-x^2/a^2) とすると、距離の2乗は

d2(x)=a2+b2−2ax+(1−b2a2)x2,−a≤x≤a.d^2(x)=a^2+b^2-2ax+\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2,\qquad -a\leq x\leq a.

頂点 x=−a3/(b2−a2)x=-a^3/(b^2-a^2) が区間内にあるかを考えると、最大距離は

dmax⁡={2a,a<b≤2 a,b2b2−a2,b>2 a.d_{\max}= \begin{cases} 2a,&a\sqrt2\,a. \end{cases}

(iii) 問題文のとおり領域条件が epx2−eqy2≤2e^p x^2-e^q y^2\leq2 ならば DD は非有界である。十分大きい ∣y∣|y| に対して [−1,1]×{y}[-1,1]\times\{y\} は DD に含まれ、その上で

2−epx2−eqy2≤2−eqy2.2-e^p x^2-e^q y^2\leq 2-e^q y^2.

よって負の部分の積分が発散し、有限な広義積分 VV は存在しない（拡張実数値では V=−∞V=-\infty）。画像の 2πe−(p+q)/22\pi e^{-(p+q)/2} は領域条件が epx2+eqy2≤2e^p x^2+e^q y^2\leq2 の場合の値である。

本页目录