京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施数学【I】

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$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。

以下の問いに答えよ。

(1) つぎの行列 $A$ を考える。ただし、 $x$ は実数である。 $A^5$ が零行列となる $x$ をひとつ求めよ。そのような $x$ が存在しない場合は「存在しない」と答えよ。

A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & -7 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 19 & 0 & 2 & 3 \\ 13 & -14 & 10 & 0 & 5 \\ 8 & 9 & -15 & 5 & 0 \end{pmatrix}

(2) 設問 (1) の行列 $A$ を考える。 $x = 113$ としたときの行列 $A$ を $B$ と表す。 $5$ 次元実ベクトル空間において、行列 $B$ から定まる線形写像 $T(y) = By$ の零空間（核）の次元を求めよ。ただし、 $y$ は 5 次元実ベクトル空間の元である。

(3) 実数 $c$ に対して集合 $W(c)$ を

W(c) = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{10} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{10} \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_{10} = c \right\}

と定義する。 $W(c)$ が $10$ 次元実ベクトル空間の部分空間（線形部分空間）になるような実数 $c$ をすべて列挙せよ。そのような $c$ が存在しない場合は「存在しない」と答えよ。また、実ベクトル空間における部分空間の定義に従って、求めた答えが正しいことを証明せよ。

(1) 以下の実正方行列 $C$ の行列式は、すべての実数 $a,b,c,d,e,f$ に対して非負となることを示せ。

C = \begin{pmatrix} 0 & -a & -b & -c \\ a & 0 &-d & -e \\ b & d & 0 & -f \\ c & e & f & 0 \end{pmatrix}

$n$ 次の実正方行列 $D$ の $(i,j)$ 成分 $a_{ij}$ が、すべての $i,j$ について、 $a_{ij} + a_{ji} = 0$ を満たしている。 $n$ が奇数のとき、 $D$ の行列式を求めよ。導出過程を示せ。

以下 $\mathbb R$ 表示实数集。