京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施数学【I】

Author

を実数全体からなる集合とする。

以下の問いに答えよ。

(1) つぎの行列を考える。ただし、は実数である。が零行列となるをひとつ求めよ。そのようなが存在しない場合は「存在しない」と答えよ。

(2) 設問 (1) の行列を考える。としたときの行列をと表す。次元実ベクトル空間において、行列から定まる線形写像の零空間（核）の次元を求めよ。ただし、は 5 次元実ベクトル空間の元である。

(3) 実数に対して集合を

と定義する。が次元実ベクトル空間の部分空間（線形部分空間）になるような実数をすべて列挙せよ。そのようなが存在しない場合は「存在しない」と答えよ。また、実ベクトル空間における部分空間の定義に従って、求めた答えが正しいことを証明せよ。

(1) 以下の実正方行列の行列式は、すべての実数に対して非負となることを示せ。

次の実正方行列の成分が、すべてのについて、を満たしている。が奇数のとき、の行列式を求めよ。導出過程を示せ。