京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施数学【I】

标签：

Author

$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。

以下の問いに答えよ。

(1) つぎの行列 $A$ を考える。ただし、 $x$ は実数である。 $A^5$ が零行列となる $x$ をひとつ求めよ。そのような $x$ が存在しない場合は「存在しない」と答えよ。

A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & -7 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 19 & 0 & 2 & 3 \\ 13 & -14 & 10 & 0 & 5 \\ 8 & 9 & -15 & 5 & 0 \end{pmatrix}

(2) 設問 (1) の行列 $A$ を考える。 $x = 113$ としたときの行列 $A$ を $B$ と表す。 $5$ 次元実ベクトル空間において、行列 $B$ から定まる線形写像 $T(y) = By$ の零空間（核）の次元を求めよ。ただし、 $y$ は 5 次元実ベクトル空間の元である。

(3) 実数 $c$ に対して集合 $W(c)$ を

W(c) = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{10} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{10} \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_{10} = c \right\}

と定義する。 $W(c)$ が $10$ 次元実ベクトル空間の部分空間（線形部分空間）になるような実数 $c$ をすべて列挙せよ。そのような $c$ が存在しない場合は「存在しない」と答えよ。また、実ベクトル空間における部分空間の定義に従って、求めた答えが正しいことを証明せよ。

(1) 以下の実正方行列 $C$ の行列式は、すべての実数 $a,b,c,d,e,f$ に対して非負となることを示せ。

C = \begin{pmatrix} 0 & -a & -b & -c \\ a & 0 &-d & -e \\ b & d & 0 & -f \\ c & e & f & 0 \end{pmatrix}

$n$ 次の実正方行列 $D$ の $(i,j)$ 成分 $a_{ij}$ が、すべての $i,j$ について、 $a_{ij} + a_{ji} = 0$ を満たしている。 $n$ が奇数のとき、 $D$ の行列式を求めよ。導出過程を示せ。

以下 $\mathbb{R}$ 表示实数集。回答以下两题。

A= \begin{pmatrix} 7&1&0&0&0\\ x&-7&0&0&0\\ -2&19&0&2&3\\ 13&-14&10&0&5\\ 8&9&-15&5&0 \end{pmatrix}.

求一个使 $A^5$ 等于零矩阵的 $x$ ；若不存在这样的实数，则回答“不存在”。

T(\boldsymbol{y})=B\boldsymbol{y}, \qquad \boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^5.

求 $T$ 的零空间（核）的维数。

W(c) = \left\{ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_{10} \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{10} \ \middle|\ x_1+x_2+\cdots+x_{10}=c \right\}.

列出使 $W(c)$ 成为十维实向量空间 $\mathbb{R}^{10}$ 的线性子空间的全部实数 $c$ ；若一个也没有，则回答“不存在”。还要依据实向量空间中子空间的定义，证明所列答案正确。

C= \begin{pmatrix} 0&-a&-b&-c\\ a&0&-d&-e\\ b&d&0&-f\\ c&e&f&0 \end{pmatrix}

的行列式总是非负。 2. 设 $D=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实方阵，并且对所有 $i,j$ 都有

a_{ij}+a_{ji}=0.

当 $n$ 为奇数时，求 $\det D$ ，并写出推导过程。

$\det B=0$ より $\operatorname{rank}B\leq4$ である。一方、第 $1,2,3,4$ 行と第 $1,2,3,4$ 列からなる小行列の行列式は $3240\ne0$ なので、 $\operatorname{rank}B=4$ 。したがって

\dim\ker T=5-\operatorname{rank}B=1.