京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施専門科目制御工学

标签：

Author

Description

問題1

図1のフィードバック制御系に関する以下の設問に答えよ。ただし，

P(s) = \frac{1}{s^2 + 2s - 8}, \quad F(s) = \frac{a}{s + 1}

とし， $a, K$ は定数パラメータとする。

(1) $P(s)$ のステップ応答を求めよ。

(2) $r$ から $y$ への伝達関数 $G_{yr}(s)$ と $d$ から $y$ への伝達関数 $G_{yd}(s)$ をそれぞれ求めよ。

(3) $G_{yr}(s), G_{yd}(s)$ がともに安定なとき， $c$ を定数パラメータとして，ステップ入力 $d(t) = c$ と単位ステップ入力 $r(t) = 1$ を同時に加えると，出力 $y(t)$ の定常値 $\lim_{t \to \infty} y(t)$ が $2$ であった。このとき， $c$ の値を $a, K$ を用いて表せ。

(4) $a, K$ を実数の範囲で自由に選べるとして， $G_{yr}(s)$ のすべての極の実部が正になる $a, K$ が存在するか否か，理由とともに述べよ。

問題2

図2に示す内部安定なフィードバック制御系について、以下の設問に答えよ。なお、制御対象 $P(s)$ は最小位相で、その定常ゲイン $P(0)$ は正の定数とする。また、 $C(s)$ は次式で与えられる PID 制御器であり、比例ゲイン $K_P$ 、積分時間 $T_I$ 、微分時間 $T_D$ はすべて正の定数とする。

C(s) = K_P \left( 1 + \frac{1}{T_I s} + T_D s \right)

(1) PID 制御器 $C(s)$ を設計したところ、一巡伝達関数のボード線図が図3のようになった。ゲイン余裕および位相余裕を図から読みとって答えよ。

(2) 設問 (1) の PID 制御器の比例ゲイン $K_P$ のみを調整して、ゲイン余裕を 10 dB だけ大きくしたい。 $K_P$ を何倍にすればよいか答えよ。

(3) 設問 (1) の PID 制御器を用いたところ、設定値 $r$ をステップ状に変更した直後に操作量 $u$ が急激に変動することが判明した。この変動を抑制するために、図4に示す I-PD 制御系を採用することにした。ただし、 $K_P$ , $T_I$ , $T_D$ の値は設問 (1) の PID 制御器と同じ値とする。 PID 制御と比較して、操作量の急激な変動を抑制するために I-PD 制御が有効であると期待できる理由を簡潔に説明せよ。

(4) 図4の I-PD 制御系について、外乱 $d$ から制御量 $y$ への閉ループ伝達関数を求めよ。さらに、PID 制御と I-PD 制御で同じ制御パラメータ $K_P$ , $T_I$ , $T_D$ を用いる場合について、求めた閉ループ伝達関数が、図2の PID 制御系の外乱 $d$ から制御量 $y$ への閉ループ伝達関数と同じになるかどうかを理由とともに答えよ。

题目描述

对图 1 所示反馈控制系统，设

$P(s)=\frac1{s^2+2s-8},\qquad F(s)=\frac a{s+1},$

其中 $a,K$ 为常数参数。

（1）求 $P(s)$ 的阶跃响应。

（2）分别求从 $r$ 到 $y$ 的传递函数 $G_{yr}(s)$ ，以及从扰动 $d$ 到 $y$ 的传递函数 $G_{yd}(s)$ 。

（3）假设 $G_{yr}(s),G_{yd}(s)$ 都稳定。同时施加阶跃扰动 $d(t)=c$ 和单位阶跃参考输入 $r(t)=1$ ，其中 $c$ 为常数参数；若输出稳态值满足

$\lim_{t\to\infty}y(t)=2,$

用 $a,K$ 表示 $c$ 。

（4）允许在实数范围内自由选择 $a,K$ 。判断是否存在某组 $a,K$ ，使 $G_{yr}(s)$ 的所有极点实部都为正，并说明理由。
考虑图 2 所示内部稳定的反馈控制系统。对象 $P(s)$ 为最小相位系统，且其稳态增益 $P(0)$ 为正常数。控制器为 PID 控制器

$C(s)=K_P\left(1+\frac1{T_Is}+T_Ds\right),$

其中比例增益 $K_P$ 、积分时间 $T_I$ 、微分时间 $T_D$ 均为正常数。

（1）设计 PID 控制器后，开环传递函数的 Bode 图如图 3。由图读出增益裕度和相位裕度。

（2）仅调整第（1）问 PID 控制器的比例增益 $K_P$ ，使增益裕度增加 $10\,\mathrm{dB}$ 。求 $K_P$ 应变为原来的多少倍。

（3）使用第（1）问的 PID 控制器时，发现参考值 $r$ 发生阶跃变化后，操作量 $u$ 会立即剧烈变化。为抑制该变化，改用图 4 的 I-PD 控制结构，且 $K_P,T_I,T_D$ 与原 PID 控制器相同。简要说明相较 PID 控制，为什么 I-PD 有望抑制操作量的突然变化。

（4）对图 4 的 I-PD 系统，求从扰动 $d$ 到被控量 $y$ 的闭环传递函数。若 PID 与 I-PD 使用相同的 $K_P,T_I,T_D$ ，判断该传递函数是否与图 2 PID 系统从 $d$ 到 $y$ 的闭环传递函数相同，并说明理由。

Kai

問題1

問題1 (4) の訂正

そのような $a,K$ は存在する。 $K=0$ のとき

G_{yr}(s) =\frac{a(s+4)(s-2)}{(s+4)(s-2)(s+a+1)} =\frac{a}{s+a+1}.

例えば $a=-2,\ K=0$ とすれば $G_{yr}(s)=-2/(s-1)$ となり、唯一の極は $s=1$ で、その実部は正である。

問題2

問題2 (2) の訂正

ゲイン余裕を $10\,\mathrm{dB}$ 増やすには一巡ゲインを $10\,\mathrm{dB}$ 下げればよい。したがって

20\log_{10}\frac{K_P^{\mathrm{new}}}{K_P^{\mathrm{old}}}=-10,\qquad \frac{K_P^{\mathrm{new}}}{K_P^{\mathrm{old}}}=10^{-1/2}=\frac1{\sqrt{10}}.

Author​

Description​

問題1​

問題2​

题目描述​

Kai​