京都大学情報学研究科システム科学専攻 2024年8月実施専門科目制御工学

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問題1

図1のフィードバック制御系に関する以下の設問に答えよ。ただし，

P(s) = \frac{1}{s^2 + 2s - 8}, \quad F(s) = \frac{a}{s + 1}

とし， $a, K$ は定数パラメータとする。

(1) $P(s)$ のステップ応答を求めよ。

(2) $r$ から $y$ への伝達関数 $G_{yr}(s)$ と $d$ から $y$ への伝達関数 $G_{yd}(s)$ をそれぞれ求めよ。

(3) $G_{yr}(s), G_{yd}(s)$ がともに安定なとき， $c$ を定数パラメータとして，ステップ入力 $d(t) = c$ と単位ステップ入力 $r(t) = 1$ を同時に加えると，出力 $y(t)$ の定常値 $\lim_{t \to \infty} y(t)$ が $2$ であった。このとき， $c$ の値を $a, K$ を用いて表せ。

(4) $a, K$ を実数の範囲で自由に選べるとして， $G_{yr}(s)$ のすべての極の実部が正になる $a, K$ が存在するか否か，理由とともに述べよ。

問題2

図2に示す内部安定なフィードバック制御系について、以下の設問に答えよ。なお、制御対象 $P(s)$ は最小位相で、その定常ゲイン $P(0)$ は正の定数とする。また、 $C(s)$ は次式で与えられる PID 制御器であり、比例ゲイン $K_P$ 、積分時間 $T_I$ 、微分時間 $T_D$ はすべて正の定数とする。

C(s) = K_P \left( 1 + \frac{1}{T_I s} + T_D s \right)

(1) PID 制御器 $C(s)$ を設計したところ、一巡伝達関数のボード線図が図3のようになった。ゲイン余裕および位相余裕を図から読みとって答えよ。

(2) 設問 (1) の PID 制御器の比例ゲイン $K_P$ のみを調整して、ゲイン余裕を 10 dB だけ大きくしたい。 $K_P$ を何倍にすればよいか答えよ。

(3) 設問 (1) の PID 制御器を用いたところ、設定値 $r$ をステップ状に変更した直後に操作量 $u$ が急激に変動することが判明した。この変動を抑制するために、図4に示す I-PD 制御系を採用することにした。ただし、 $K_P$ , $T_I$ , $T_D$ の値は設問 (1) の PID 制御器と同じ値とする。 PID 制御と比較して、操作量の急激な変動を抑制するために I-PD 制御が有効であると期待できる理由を簡潔に説明せよ。

(4) 図4の I-PD 制御系について、外乱 $d$ から制御量 $y$ への閉ループ伝達関数を求めよ。さらに、PID 制御と I-PD 制御で同じ制御パラメータ $K_P$ , $T_I$ , $T_D$ を用いる場合について、求めた閉ループ伝達関数が、図2の PID 制御系の外乱 $d$ から制御量 $y$ への閉ループ伝達関数と同じになるかどうかを理由とともに答えよ。

题目描述

对图 1 所示反馈控制系统，设

$P(s)=\frac1{s^2+2s-8},\qquad F(s)=\frac a{s+1},$

其中 $a,K$ 为常数参数。

（1）求 $P(s)$ 的阶跃响应。

（2）分别求从 $r$ 到 $y$ 的传递函数 $G_{yr}(s)$ ，以及从扰动 $d$ 到 $y$ 的传递函数 $G_{yd}(s)$ 。

（3）假设 $G_{yr}(s),G_{yd}(s)$ 都稳定。同时施加阶跃扰动 $d(t)=c$ 和单位阶跃参考输入 $r(t)=1$ ，其中 $c$ 为常数参数；若输出稳态值满足

$\lim_{t\to\infty}y(t)=2,$

用 $a,K$ 表示 $c$ 。

（4）允许在实数范围内自由选择 $a,K$ 。判断是否存在某组 $a,K$ ，使 $G_{yr}(s)$ 的所有极点实部都为正，并说明理由。
考虑图 2 所示内部稳定的反馈控制系统。对象 $P(s)$ 为最小相位系统，且其稳态增益 $P(0)$ 为正常数。控制器为 PID 控制器

$C(s)=K_P\left(1+\frac1{T_Is}+T_Ds\right),$

其中比例增益 $K_P$ 、积分时间 $T_I$ 、微分时间 $T_D$ 均为正常数。

（1）设计 PID 控制器后，开环传递函数的 Bode 图如图 3。由图读出增益裕度和相位裕度。

（2）仅调整第（1）问 PID 控制器的比例增益 $K_P$ ，使增益裕度增加 $10\,\mathrm{dB}$ 。求 $K_P$ 应变为原来的多少倍。

（3）使用第（1）问的 PID 控制器时，发现参考值 $r$ 发生阶跃变化后，操作量 $u$ 会立即剧烈变化。为抑制该变化，改用图 4 的 I-PD 控制结构，且 $K_P,T_I,T_D$ 与原 PID 控制器相同。简要说明相较 PID 控制，为什么 I-PD 有望抑制操作量的突然变化。

（4）对图 4 的 I-PD 系统，求从扰动 $d$ 到被控量 $y$ 的闭环传递函数。若 PID 与 I-PD 使用相同的 $K_P,T_I,T_D$ ，判断该传递函数是否与图 2 PID 系统从 $d$ 到 $y$ 的闭环传递函数相同，并说明理由。

Kai

問題1

(1)

\frac{P(s)}s=\frac1{s(s+4)(s-2)} =-\frac1{8s}+\frac1{24(s+4)}+\frac1{12(s-2)}.

従ってステップ応答は

\boxed{y(t)=-\frac18+\frac1{24}e^{-4t}+\frac1{12}e^{2t}},\qquad t\ge0.

(2)

ブロック線図より $y=(F+KP)(r-y)+d$ となる。従って

\boxed{G_{yr}(s)=\frac{F(s)+KP(s)}{1+F(s)+KP(s)},\qquad G_{yd}(s)=\frac1{1+F(s)+KP(s)}}.

$\Delta(s)=(s+1)(s^2+2s-8)+a(s^2+2s-8)+K(s+1)$ とおけば、

G_{yr}(s)=\frac{a(s^2+2s-8)+K(s+1)}{\Delta(s)},\qquad G_{yd}(s)=\frac{(s+1)(s^2+2s-8)}{\Delta(s)}.

(3)

$L_0=F(0)+KP(0)=a-K/8$ とおく。安定性から最終値定理を適用すると

2=G_{yr}(0)+cG_{yd}(0)=\frac{L_0+c}{1+L_0}.

よって

\boxed{c=2+a-\frac K8}.

(4)

例えば $a=-2,K=0$ とすれば、

G_{yr}(s)=\frac{F(s)}{1+F(s)}=-\frac2{s-1}.

唯一の極は $s=1$ であり、その実部は正である。従って、そのような $a,K$ は存在する。

問題2

(1)

位相交差周波数でのゲインは約 $-7\,\mathrm{dB}$ 、ゲイン交差周波数での位相は約 $-135^\circ$ と読み取れる。従って

\boxed{GM\simeq7\,\mathrm{dB},\qquad PM\simeq45^\circ}.

(2)

$K_P$ を $k>0$ 倍すると、位相線図は変わらず、ゲイン線図が $20\log_{10}k$ だけ上下する。ゲイン余裕を $10\,\mathrm{dB}$ 増やす条件は

20\log_{10}k=-10, \qquad\boxed{k=\frac1{\sqrt{10}}}.

(3)

PID 制御では $u=K_P(r-y)+(K_P/T_I)\int(r-y)\,dt+K_PT_D(\dot r-\dot y)$ となり、設定値のステップ変化が比例項の跳躍と微分項のインパルスを直接生じさせる。I-PD 制御では

u=\frac{K_P}{T_I}\int(r-y)\,dt-K_Py-K_PT_D\dot y

となり、設定値 $r$ は積分項だけに入る。従って設定値の変化による比例キックと微分キックを抑制できる。

(4)

$r=0$ とすると、I-PD 制御でも $u=-C(s)y$ となる。 $y=P(s)u+d$ より

\boxed{G_{yd}(s)=\frac1{1+C(s)P(s)}}.

PID 制御も $r=0$ で同じ関係を満たすため、同一パラメータのとき外乱から制御量への閉ループ伝達関数は等しい。

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