京都大学情報学研究科システム科学専攻 2023年8月実施専門科目確率統計

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以下の問題において，は事象の確率を表し，とは確率変数の期待値と分散を表す．また，はネイピア数（自然対数の底）を表す．

ある日の，店の来客数は，独立にポアソン分布にしたがう確率変数とする．ただし，は未知パラメータである．なお，パラメータのポアソン分布の確率関数は

である．以下の設問に答えなさい．

(1) を用いて，の最尤推定量を求めよ．

(2) ポアソン分布にしたがう確率変数の期待値と分散を求めよ．

広い店ほど来客数が多い傾向があり，店の広さを定数で表すととなることがわかった．ただし，は未知パラメータである．

(3) 最尤法でを推定したい．を用いて，の最尤推定量を求めよ．

(4) 設問 (3) のの期待値と分散を求めよ．

(5) 重み付き最小二乗法でを推定したい

を最小にするの値をとする．ただし，は正の定数である．を求めよ．

(6) 設問 (5) のの期待値と分散を求めよ．

(7) 設問 (5) のに対して，を最小にするの値を求めよ．また，そのときのを求めよ．

を実数値確率変数とし，その累積分布関数をそれぞれ，，確率密度関数をとする．ただし実数に対しておよびとする．また，との同時累積分布関数を，同時確率密度関数をとする．以下の設問に答えなさい．

(1) をそれ自身の累積分布関数に代入して得られるを考える．はの範囲で定められる一様分布にしたがう確率変数であることを示せ．

(2) およびをの範囲の一様分布にしたがう確率変数とする．確率変数の同時累積分布関数をとする．対応する同時密度関数を

とする．確率変数とに対して，あるが存在して

と表せることが知られている．このときをのコピュラと呼び，対応する同時密度関数をコピュラ密度関数と呼ぶ．上式を用いてとの同時確率密度関数を，のコピュラに対応するコピュラ密度関数，およびを用いて表せ．

(3) との同時累積分布関数が

で与えられるとする．のコピュラに対応するコピュラ密度関数を求めよ．