京都大学情報学研究科システム科学専攻 2023年8月実施数学【II】

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を実数全体からなる集合, を円周率とする。行列およびベクトルの転置をで表す。

以下の設問に答えよ。

(i) 変数に対して関数を考える。のに関する最大値が存在するならばそのときのを求めよ。存在しない場合はそのことを示せ。ただし、は正の整数、は定数とする。

(ii) 条件の下での最大値を求めよ。ただし、は正の整数とする。

(iii) 原点をとする平面上の曲線 :

を考える。ここで、曲線上の点における接線と軸および軸との交点をそれぞれ点および点とする。ただし、は定数とする。

以下の設問に答えよ。

(i) 次の極限を求めよ。極限が存在しない場合は、そのことを示せ。

(ii) に対してを微分可能な実関数とし、その導関数をで表す。また、2 次元実ベクトルに対して

と定義する。

また、整数および個の実行列に対して、実ベクトルが全てのについて

という関係を満たすものとする。

これ以降、とする。をの関数とみなすときののに関する偏微分を

で表し、また、をの関数とみなすときののに関する偏微分を

で表す。これらを成分にもつ行列をそれぞれとする。またを単位行列とする。

以下、の成分をと表記する。なお、必要に応じての第行をと表記してよい。また、実ベクトルに対してその各対角成分をもつ対角行列を返す関数

を用いてもよい。

(1) をおよびそれらの成分とのうち必要なものを用いて表せ。

(2) をのうち必要なものを用いて表せ。

(3) とする。をの関数とみなすときのの値をおよびそれらの成分とのうち必要なものを用いて表せ。