京都大学情報学研究科システム科学専攻 2023年8月実施数学【I】

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以下の設問に答えよ．

(i) 次式を満たす実数の組が唯一存在するならば，そのの値を示せ．等式を満たす実数の組が唯一でない場合は「唯一でない」，存在しない場合は「存在しない」と答えよ．

(ii) 次の行列は重複を含め 4 つの固有値を有する．いま，それら 4 つの固有値の和がだという．これを満たすような実数の組を，横軸を，縦軸をとする座標平面にプロットせよ．

以下の設問に答えよ．

(i) 次の行列の行列式の最大値を求めよ．ただし，とは実数とする．

(ii) 次式を満たす実正方行列は存在するか．理由とともに答えよ．

ベクトルとの内積がで与えられる次元実数ベクトル空間における次元部分空間とその直交補空間について考える．の基底はと，の基底はであり，とは次式で与えられるとする．以下の設問に答えよ．

(i) 実数を求めよ．さらに，と直交する基底をひとつ求めよ．

(ii) 部分空間への正射影について，その射影行列を求めよ．また，の階数（ランク）を求めよ．

(iii) 部分空間への正射影について，その射影行列を求めよ．また，の核（カーネル）を求めよ．

(iv) 次式で与えられるとのユークリッド距離が最も小さくなる部分空間の元を，と設問 (i) で求めたの線形結合として求めよ．また，そのときのを求めよ．