京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2023年8月実施 数学【I】

标签：

• Kyoto-University
• Systems-of-Linear-Equations
• Matrix-Trace
• Matrix-Determinant
• Nilpotent-Matrix
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Projection-Operator
• Matrix-Rank
• Kernel-and-Image

Author

AKIRA (小红书:94184092292)

Description

問1

以下の設問に答えよ．

(i) 次式を満たす実数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ が唯一存在するならば，その $x_3$ の値を示せ．等式を満たす実数の組が唯一でない場合は「唯一でない」，存在しない場合は「存在しない」と答えよ．

$$x_1 \begin{bmatrix} 11 \\ 11 \\ -11 \\ -11 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 12 \\ -12 \\ 12 \\ -12 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 31 \\ 31 \\ 31 \\ 31 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 41 \\ -41 \\ -41 \\ 41 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 \\ -11 \\ -51 \\ 37 \end{bmatrix}$$

(ii) 次の行列は重複を含め 4 つの固有値を有する．いま，それら 4 つの固有値の和が $23$ だという．これを満たすような実数の組 $(x, y)$ を，横軸を $x$，縦軸を $y$ とする座標平面にプロットせよ．

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 2.5 \\ -1 & 4 & -7 & 0.5 \\ 1 & -7 & 4 & y \\ 2.5 & 0.5 & y & x \end{bmatrix}$$

---

問2

以下の設問に答えよ．

(i) 次の行列 $A$ の行列式 $\det A$ の最大値を求めよ．ただし，$s$ と $t$ は実数とする．

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1+s & 1 \\ 1+s & 1 & 1+t \\ 1 & 1+t & 1 \end{bmatrix}$$

(ii) 次式を満たす実正方行列 $B$ は存在するか．理由とともに答えよ．

$$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

---

問3

ベクトル $x$ と $y$ の内積が $x^T y$ で与えられる $3$ 次元実数ベクトル空間 $V$ における $2$ 次元部分空間 $V_1$ とその直交補空間 $V_2$ について考える．$V_1$ の基底は $a$ と $b$，$V_2$ の基底は $c$ であり，$a, c$ とは次式で与えられるとする．以下の設問に答えよ．

$$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{bmatrix}, \quad c = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

(i) 実数 $k$ を求めよ．さらに，$a$ と直交する基底 $b$ をひとつ求めよ．

(ii) 部分空間 $V_1$ への正射影 $p$ について，その射影行列 $P$ を求めよ．また，$P$ の階数（ランク）を求めよ．

(iii) 部分空間 $V_2$ への正射影 $q$ について，その射影行列 $Q$ を求めよ．また，$q$ の核（カーネル）を求めよ．

(iv) 次式で与えられる $x$ とのユークリッド距離 $d$ が最も小さくなる部分空間 $V_1$ の元 $y$ を，$a$ と設問 (i) で求めた $b$ の線形結合として求めよ．また，そのときの $d$ を求めよ．

$$x = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}$$

题目描述

1. 回答下列问题。

   （i）考虑方程

   $$x_1 \begin{bmatrix}11\\11\\-11\\-11\end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix}12\\-12\\12\\-12\end{bmatrix} +x_3 \begin{bmatrix}31\\31\\31\\31\end{bmatrix} +x_4 \begin{bmatrix}41\\-41\\-41\\41\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}23\\-11\\-51\\37\end{bmatrix}.$$

   若满足该式的实数组 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 唯一存在，则给出 $x_3$；若解不唯一，回答“解不唯一”；若无解，回答“无解”。

   （ii）下列矩阵有四个按重数计的特征值，且其和为 23：

   $$\begin{bmatrix} 1&-1&1&2.5\\ -1&4&-7&0.5\\ 1&-7&4&y\\ 2.5&0.5&y&x \end{bmatrix}.$$

   在横轴为 $x$、纵轴为 $y$ 的坐标平面上画出所有满足条件的实数组 $(x,y)$。

2. 回答下列问题。

   （i）对实数 $s,t$，令

   $$A= \begin{bmatrix} 1&1+s&1\\ 1+s&1&1+t\\ 1&1+t&1 \end{bmatrix}.$$

   求 $\det A$ 的最大值。

   （ii）是否存在满足

   $$B^2= \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$$

   的实方阵 $B$？说明理由。

3. 在内积为 $x^{\mathrm T}y$ 的三维实向量空间 $V$ 中，考虑二维子空间 $V_1$ 及其正交补 $V_2$。$V_1$ 的一组基为 $a,b$，$V_2$ 的一组基为 $c$，且

   $$a=\begin{bmatrix}1\\2\\k\end{bmatrix}, \qquad c=\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}.$$

   （i）求实数 $k$，并给出一个与 $a$ 正交、可作为另一基向量的 $b$。

   （ii）设 $p$ 为到 $V_1$ 的正交投影，求其投影矩阵 $P$ 及 $\operatorname{rank}(P)$。

   （iii）设 $q$ 为到 $V_2$ 的正交投影，求其投影矩阵 $Q$ 及 $\ker q$。

   （iv）给定

   $$x=\begin{bmatrix}3\\4\\-1\end{bmatrix},$$

   求 $V_1$ 中与 $x$ 的 Euclidean 距离最小的向量 $y$，并把它写成 $a$ 与第（i）问所得 $b$ 的线性组合；同时求该最小距离 $d$。

考点

• 线性方程组的存在性与唯一性：用秩、行列式或正交结构判断解并提取指定分量。
• 迹与特征值之和：利用矩阵迹直接刻画参数点集。
• 行列式优化与幂零矩阵：化简参数行列式，并用秩或幂零指数判断实矩阵平方根是否存在。
• 正交投影：由子空间基或法向量构造投影矩阵，分析其秩与核。
• 最佳逼近：把最近点解释为正交投影，并由正交分解计算距离。

Kai

問1 & 問2

問3