京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2023年8月実施 数学【I】

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• 矩阵迹
• 行列式
• 幂零矩阵
• 内积与正交性
• 投影算子
• 矩阵秩
• 核与像

Author

AKIRA (小红书:94184092292)

Description

大学公表の原題

問1

以下の設問に答えよ．

(i) 次式を満たす実数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ が唯一存在するならば，その $x_3$ の値を示せ．等式を満たす実数の組が唯一でない場合は「唯一でない」，存在しない場合は「存在しない」と答えよ．

$$x_1 \begin{bmatrix} 11 \\ 11 \\ -11 \\ -11 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 12 \\ -12 \\ 12 \\ -12 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 31 \\ 31 \\ 31 \\ 31 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} 41 \\ -41 \\ -41 \\ 41 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 \\ -11 \\ -51 \\ 37 \end{bmatrix}$$

(ii) 次の行列は重複を含め 4 つの固有値を有する．いま，それら 4 つの固有値の和が $23$ だという．これを満たすような実数の組 $(x, y)$ を，横軸を $x$ ，縦軸を $y$ とする座標平面にプロットせよ．

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 2.5 \\ -1 & 4 & -7 & 0.5 \\ 1 & -7 & 4 & y \\ 2.5 & 0.5 & y & x \end{bmatrix}$$

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問2

以下の設問に答えよ．

(i) 次の行列 $A$ の行列式 $\det A$ の最大値を求めよ．ただし， $s$ と $t$ は実数とする．

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1+s & 1 \\ 1+s & 1 & 1+t \\ 1 & 1+t & 1 \end{bmatrix}$$

(ii) 次式を満たす実正方行列 $B$ は存在するか．理由とともに答えよ．

$$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

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問3

ベクトル $x$ と $y$ の内積が $x^T y$ で与えられる $3$ 次元実数ベクトル空間 $V$ における $2$ 次元部分空間 $V_1$ とその直交補空間 $V_2$ について考える． $V_1$ の基底は $a$ と $b$ ， $V_2$ の基底は $c$ であり， $a, c$ とは次式で与えられるとする．以下の設問に答えよ．

$$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{bmatrix}, \quad c = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

(i) 実数 $k$ を求めよ．さらに， $a$ と直交する基底 $b$ をひとつ求めよ．

(ii) 部分空間 $V_1$ への正射影 $p$ について，その射影行列 $P$ を求めよ．また， $P$ の階数（ランク）を求めよ．

(iii) 部分空間 $V_2$ への正射影 $q$ について，その射影行列 $Q$ を求めよ．また， $q$ の核（カーネル）を求めよ．

(iv) 次式で与えられる $x$ とのユークリッド距離 $d$ が最も小さくなる部分空間 $V_1$ の元 $y$ を， $a$ と設問 (i) で求めた $b$ の線形結合として求めよ．また，そのときの $d$ を求めよ．

$$x = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}$$

题目描述

回答以下三题。

1. 完成下列各问。

   1. 考虑实数未知量 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 满足的向量方程

$$x_1 \begin{bmatrix} 11\\11\\-11\\-11 \end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix} 12\\-12\\12\\-12 \end{bmatrix} +x_3 \begin{bmatrix} 31\\31\\31\\31 \end{bmatrix} +x_4 \begin{bmatrix} 41\\-41\\-41\\41 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23\\-11\\-51\\37 \end{bmatrix}.$$

若满足方程的实数组唯一存在，给出该唯一解中 $x_3$ 的值；若解不唯一，回答“解不唯一”；若没有解，回答“无解”。

2. 下列矩阵按代数重数计有四个特征值：

$$\begin{bmatrix} 1&-1&1&2.5\\ -1&4&-7&0.5\\ 1&-7&4&y\\ 2.5&0.5&y&x \end{bmatrix}.$$

已知这四个特征值之和为 $23$。在以 $x$ 为横轴、$y$ 为纵轴的坐标平面上，画出所有满足条件的实数对 $(x,y)$。

2. 完成下列各问。

   1. 对任意实数 $s,t$，令

$$A= \begin{bmatrix} 1&1+s&1\\ 1+s&1&1+t\\ 1&1+t&1 \end{bmatrix}.$$

求 $\det A$ 的最大值。 2. 判断是否存在实 $2\times2$ 方阵 $B$ 满足

$$B^2= \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},$$

并说明理由。

3. 在三维实向量空间 $V$ 中采用内积 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}$。设二维子空间 $V_1$ 的正交补为 $V_2$；$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是 $V_1$ 的一组基， $\boldsymbol{c}$ 是 $V_2$ 的一组基，并且

$$\boldsymbol{a} = \begin{bmatrix} 1\\2\\k \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 1\\-1\\-1 \end{bmatrix}.$$

1. 求实数 $k$，并给出一个与 $\boldsymbol{a}$ 正交、且与 $\boldsymbol{a}$ 共同构成 $V_1$ 一组基的向量 $\boldsymbol{b}$。
2. 设 $p$ 是到 $V_1$ 的正交投影。求其投影矩阵 $P$，并求 $\operatorname{rank}P$。
3. 设 $q$ 是到 $V_2$ 的正交投影。求其投影矩阵 $Q$，并求 $\ker q$。
4. 给定

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 3\\4\\-1 \end{bmatrix},$$

在 $V_1$ 中求与 $\boldsymbol{x}$ 的 Euclidean 距离最小的向量 $\boldsymbol{y}$；把 $\boldsymbol{y}$ 写成 $\boldsymbol{a}$ 与第 1 小问所取 $\boldsymbol{b}$ 的线性组合，并求该最小距离 $d$。

Kai

問1

(i) 係数行列の四つの列は非零で相互に直交するから、行列は正則で解は一意である。四式を加えると $124x_3=23-11-51+37=-2$。従って $\boxed{x_3=-1/62}$。

(ii) 固有値の和は跡に等しく、$1+4+4+x=23$ より $x=14$。$y$ に制限はないため、解集合は縦の直線 $\boxed{x=14}$ である。

問2

(i) 行列式を展開すると $\det A=-(s-t)^2\le0$。$s=t$ で等号を達成するから最大値は $\boxed0$。

(ii) 存在しない。存在するとすれば $B^4=0$ なので $B$ の固有値はともに零である。二次の Cayley–Hamilton の定理より $B^2=0$ となり、与えられた非零行列に等しいことに矛盾する。

問3

(i) $a^{\mathrm T}c=1-2-k=0$ より $\boxed{k=-1}$。$b=(1,0,1)^{\mathrm T}$ とすれば $a^{\mathrm T}b=c^{\mathrm T}b=0$ であり、$\boxed{b=(1,0,1)^{\mathrm T}}$ を選べる。

(ii) $V_1=c^\perp$ より

$$\boxed{P=I-\frac{cc^{\mathrm T}}{c^{\mathrm T}c} =\frac13\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}},\qquad\boxed{\operatorname{rank}P=2}.$$

(iii)

$$\boxed{Q=\frac13\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}},\qquad \boxed{\ker q=\{(x,y,z):x-y-z=0\}=V_1}.$$

(iv) $x=2a+b\in V_1$ だから、最近点は $\boxed{y=2a+b=(3,4,-1)^{\mathrm T}}$、最小距離は $\boxed{d=0}$。