京都大学情報学研究科システム科学専攻 2023年8月実施専門科目制御工学

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AKIRA (小红书:94184092292), 祭音Myyura

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問題1

図1のブロック線図と図2のフィードバック制御系に関する以下の設問に答えよ．ただし， $a, b, K$ は定数パラメータとする．

(1) 図1のブロック線図において $r$ から $y$ への伝達関数を求めよ．

(2) 設問 (1) で求めた伝達関数のステップ応答を求めよ．

(3) 図2のフィードバック制御系が安定となる $a, b, K$ の条件を求めよ．

(4) 図2のフィードバック制御系が安定なとき，ランプ入力 $r(t) = t$ に対する出力 $y(t)$ の定常偏差 $\lim_{t\to\infty} (r(t) - y(t))$ を， $a, b, K$ を用いて表わせ．

(5) 図2のフィードバック制御系において $a = 1, b = 3, -\infty < K < +\infty$ とする．フィードバック制御系の極のうち実部が正のものの個数を答えよ．ただし，重複する極の個数は重複度に等しいとして数える．

問題2

伝達関数

G(s) = \frac{s + a}{s(s + 1)}

について考える．ただし， $a$ は $1$ 未満の正の定数パラメータである．以下の設問に答えよ．

(1) $G(s)$ のゲイン線図の折れ線近似を描け．

(2) 図3のフィードバック制御系の位相余裕が $2\pi/3 \ \mathrm{rad}$ 以上となる $a$ の条件を求めよ．

(3) $G(s)$ のゲイン線図がその折れ線近似と交差する周波数を求めよ．

以下， $H(s)$ は $G(s)$ と同じゲインを持つ伝達関数であるとする．

(4) このような $H(s)$ のうち， $G(s)$ 以外の伝達関数をひとつ挙げよ．

(5) $H(s)$ に正弦波 $\sin t$ を入力したとする．十分時間が経ったとき，出力の正弦波の振幅が $5/7$ であったとする．このような $a$ を求めよ．

(6) 設問 (5) において， $H(s)$ の出力が入力と同位相，つまり，位相が $2n\pi$ （ $n$ は整数）であったとする．このような $H(s)$ のひとつを求めよ．

题目描述

回答关于图 1 的方框图和图 2 的反馈控制系统的下列问题，其中 $a,b,K$ 为常数参数。

（1）求图 1 中从 $r$ 到 $y$ 的传递函数。

（2）求第（1）问所得传递函数的阶跃响应。

（3）求使图 2 的反馈控制系统稳定的 $a,b,K$ 条件。

（4）当图 2 的反馈控制系统稳定时，用 $a,b,K$ 表示斜坡输入 $r(t)=t$ 下输出的稳态误差

$\lim_{t\to\infty}\bigl(r(t)-y(t)\bigr).$

（5）在图 2 的反馈控制系统中令 $a=1,b=3$ ，并允许 $-\infty<K<+\infty$ 。求闭环极点中实部为正者的个数；重极点按其重数计数。
考虑传递函数

$G(s)=\frac{s+a}{s(s+1)},$

其中 $a$ 是小于 1 的正常数。

（1）画出 $G(s)$ 增益图的折线近似。

（2）求使图 3 反馈控制系统的相位裕度至少为 $2\pi/3\ \mathrm{rad}$ 的 $a$ 的条件。

（3）求 $G(s)$ 的精确增益曲线与其折线近似相交的频率。

以下设 $H(s)$ 为与 $G(s)$ 具有相同增益的传递函数。

（4）给出一个满足条件但不同于 $G(s)$ 的 $H(s)$ 。

（5）向 $H(s)$ 输入正弦波 $\sin t$ 。充分长时间后，输出正弦波的振幅为 $5/7$ 。求满足此条件的 $a$ 。

（6）在第（5）问中，进一步要求 $H(s)$ 的输出与输入同相，即相位为 $2n\pi$ ，其中 $n$ 为整数。求一个满足条件的 $H(s)$ 。

Kai

問題1

問題2

問題2 (2), (3), (6) の訂正

|G(j\omega)|^2=\frac{\omega^2+a^2}{\omega^2(\omega^2+1)}.

(2) ゲイン交差周波数は $\omega_{gc}=\sqrt a$ であり、

\angle G(j\sqrt a)=-2\arctan\sqrt a.

したがって位相余裕が $2\pi/3$ 以上となる条件は

\pi-2\arctan\sqrt a\geq\frac{2\pi}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad 0<a\leq\frac13.

(3) 正確なゲイン線図と折れ線近似が交わる周波数は $\omega=\sqrt a$ である。

(6) (5) より $a=1/7$ である。このとき

\angle G(j)=\arctan 7-\frac{3\pi}{4}=-\arctan\frac43.

よって、例えば

H(s)=\frac{s+1/7}{s(s+1)}\frac{s-1/2}{s+1/2}

とすればよい。実際、 $|(j\omega-1/2)/(j\omega+1/2)|=1$ であり、 $\omega=1$ でこの因子の位相は $\arctan(4/3)$ なので、 $H(j)$ の位相は $0$ となる。

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