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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2023年8月実施 専門科目 制御工学

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Author​

AKIRA (小红书:94184092292), 祭音Myyura

Description​

大学公表の原題

問題1​

図1のブロック線図と図2のフィードバック制御系に関する以下の設問に答えよ．ただし，a,b,Ka, b, K は定数パラメータとする．

(1) 図1のブロック線図において rr から yy への伝達関数を求めよ．

(2) 設問 (1) で求めた伝達関数のステップ応答を求めよ．

(3) 図2のフィードバック制御系が安定となる a,b,Ka, b, K の条件を求めよ．

(4) 図2のフィードバック制御系が安定なとき，ランプ入力 r(t)=tr(t) = t に対する出力 y(t)y(t) の定常偏差 lim⁡t→∞(r(t)−y(t))\lim_{t\to\infty} (r(t) - y(t)) を，a,b,Ka, b, K を用いて表わせ．

(5) 図2のフィードバック制御系において a=1,b=3,−∞<K<+∞a = 1, b = 3, -\infty < K < +\infty とする．フィードバック制御系の極のうち実部が正のものの個数を答えよ．ただし，重複する極の個数は重複度に等しいとして数える．

問題2​

伝達関数

G(s)=s+as(s+1)G(s) = \frac{s + a}{s(s + 1)}

について考える．ただし，aa は 11 未満の正の定数パラメータである．以下の設問に答えよ．

(1) G(s)G(s) のゲイン線図の折れ線近似を描け．

(2) 図3のフィードバック制御系の位相余裕が 2π/3 rad2\pi/3 \ \mathrm{rad} 以上となる aa の条件を求めよ．

(3) G(s)G(s) のゲイン線図がその折れ線近似と交差する周波数を求めよ．

以下，H(s)H(s) は G(s)G(s) と同じゲインを持つ伝達関数であるとする．

(4) このような H(s)H(s) のうち，G(s)G(s) 以外の伝達関数をひとつ挙げよ．

(5) H(s)H(s) に正弦波 sin⁡t\sin t を入力したとする．十分時間が経ったとき，出力の正弦波の振幅が 5/75/7 であったとする．このような aa を求めよ．

(6) 設問 (5) において，H(s)H(s) の出力が入力と同位相，つまり，位相が 2nπ2n\pi（nn は整数）であったとする．このような H(s)H(s) のひとつを求めよ．

题目描述​

  1. 回答关于图 1 的方框图和图 2 的反馈控制系统的下列问题，其中 a,b,Ka,b,K 为常数参数。

    （1）求图 1 中从 rr 到 yy 的传递函数。

    （2）求第（1）问所得传递函数的阶跃响应。

    （3）求使图 2 的反馈控制系统稳定的 a,b,Ka,b,K 条件。

    （4）当图 2 的反馈控制系统稳定时，用 a,b,Ka,b,K 表示斜坡输入 r(t)=tr(t)=t 下输出的稳态误差

    lim⁡t→∞(r(t)−y(t)).\lim_{t\to\infty}\bigl(r(t)-y(t)\bigr).

    （5）在图 2 的反馈控制系统中令 a=1,b=3a=1,b=3，并允许 −∞<K<+∞-\infty<K<+\infty。求闭环极点中实部为正者的个数；重极点按其重数计数。

  2. 考虑传递函数

    G(s)=s+as(s+1),G(s)=\frac{s+a}{s(s+1)},

    其中 aa 是小于 1 的正常数。

    （1）画出 G(s)G(s) 增益图的折线近似。

    （2）求使图 3 反馈控制系统的相位裕度至少为 2π/3 rad2\pi/3\ \mathrm{rad} 的 aa 的条件。

    （3）求 G(s)G(s) 的精确增益曲线与其折线近似相交的频率。

    以下设 H(s)H(s) 为与 G(s)G(s) 具有相同增益的传递函数。

    （4）给出一个满足条件但不同于 G(s)G(s) 的 H(s)H(s)。

    （5）向 H(s)H(s) 输入正弦波 sin⁡t\sin t。充分长时间后，输出正弦波的振幅为 5/75/7。求满足此条件的 aa。

    （6）在第（5）问中，进一步要求 H(s)H(s) 的输出与输入同相，即相位为 2nπ2n\pi，其中 nn 为整数。求一个满足条件的 H(s)H(s)。

Kai​

問題1​

問題2​

(1)​

G(s)=a(1+s/a)/(s(1+s))G(s)=a(1+s/a)/(s(1+s)) より、ゲインの折線近似は

20log⁡10∣G(jω)∣≃{20log⁡10(a/ω),0<ω<a,0,a≤ω≤1,−20log⁡10ω,ω>1.20\log_{10}|G(j\omega)|\simeq \begin{cases} 20\log_{10}(a/\omega),&0<\omega<a,\\ 0,&a\le\omega\le1,\\ -20\log_{10}\omega,&\omega>1. \end{cases}

ゲイン線図の折線近似

(2)​

∣G(jω)∣2=ω2+a2ω2(ω2+1)=1  ⟺  ω=a.|G(j\omega)|^2=\frac{\omega^2+a^2}{\omega^2(\omega^2+1)}=1 \iff\omega=\sqrt a.

従ってゲイン交差周波数は ωgc=a\omega_{gc}=\sqrt a であり、

∠G(ja)=arctan⁡1a−π2−arctan⁡a=−2arctan⁡a.\angle G(j\sqrt a) =\arctan\frac1{\sqrt a}-\frac\pi2-\arctan\sqrt a =-2\arctan\sqrt a.

位相余裕の条件は

π−2arctan⁡a≥2π3  ⟺  0<a≤13.\pi-2\arctan\sqrt a\ge\frac{2\pi}3 \iff\boxed{0<a\le\frac13}.

(3)​

0<ω<a0<\omega<a で折線近似の振幅は a/ωa/\omega であり、正確な振幅との比の二乗は (ω2+a2)/(a2(ω2+1))>1(\omega^2+a^2)/(a^2(\omega^2+1))>1 となる。ω>1\omega>1 では折線近似の振幅が 1/ω1/\omega、比の二乗が (ω2+a2)/(ω2+1)<1(\omega^2+a^2)/(\omega^2+1)<1 となる。中間区間の近似振幅は 11 なので、交点は

ω=a\boxed{\omega=\sqrt a}

だけである。

(4)​

例えば

H(s)=G(s)s−1s+1H(s)=G(s)\frac{s-1}{s+1}

とすれば、実数 ω≠0\omega\ne0 に対して ∣(jω−1)/(jω+1)∣=1|(j\omega-1)/(j\omega+1)|=1 なのでゲインが等しい。

(5)​

∣H(j)∣2=∣G(j)∣2=1+a22=2549  ⟺  a=17.|H(j)|^2=|G(j)|^2=\frac{1+a^2}{2}=\frac{25}{49} \iff\boxed{a=\frac17}.

(6)​

a=1/7a=1/7 のとき G(j)=(3−4j)/7G(j)=(3-4j)/7 である。そこで

H(s)=s+1/7s(s+1)s−1/2s+1/2\boxed{H(s)=\frac{s+1/7}{s(s+1)}\frac{s-1/2}{s+1/2}}

とおけば、追加因子のゲインは 11 であり、ω=1\omega=1 では (j−1/2)/(j+1/2)=(3+4j)/5(j-1/2)/(j+1/2)=(3+4j)/5 となる。従って H(j)=5/7>0H(j)=5/7>0 で、正弦波成分は入力と同位相になる。

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