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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2023年8月実施 複素関数論

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

ii は虚数単位、π\pi は円周率、ee は自然対数の底とする。

問題1​

(1) 方程式 ∑n=15zn=−1\sum_{n=1}^5z^n=-1 のすべての解を a+bia+bi (a,b∈Ra,b\in\mathbb R) の形で求めよ。

(2) ff は領域 DD で正則であり、DD 内の単一閉曲線 CC とその内部の点 aa に対して

f(a)=12πi∫Cf(z)z−a dzf(a)=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz

が成り立つとする。f′(a)=12πi∫Cf(z)/(z−a)2 dzf'(a)=\frac1{2\pi i}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz が成り立つか。成り立てば複素微分の定義に基づいて証明し、成り立たなければ反例を示せ。

問題2​

f(z)=ez/(z−1)f(z)=e^z/(z-1) とする。

(1) ∣z−1∣>0|z-1|>0 における z=1z=1 中心の Laurent 展開

f(z)=∑n=0∞an(z−1)n+∑n=1∞bn(z−1)−nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-1)^n+\sum_{n=1}^\infty b_n(z-1)^{-n}

の係数と z=1z=1 における留数を求めよ。

(2) ∣z∣>1|z|>1 における z=0z=0 中心の Laurent 展開

f(z)=∑k=0∞ckzk+∑k=1∞dkz−kf(z)=\sum_{k=0}^\infty c_kz^k+\sum_{k=1}^\infty d_kz^{-k}

について d1d_1 を求めよ。

(3) ∣z∣<1|z|<1 における同じ形の展開について、dk=0d_k=0 (k≥1k\ge1) の理由を述べ、(1) の係数との次の関係を証明せよ。

ck=1k!{∑n=k∞an(−1)n−kn!(n−k)!+∑n=1∞bn(−1)n(n+k−1)!(n−1)!},k=0,1,….c_k=\frac1{k!}\left\{\sum_{n=k}^\infty a_n(-1)^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!} +\sum_{n=1}^\infty b_n(-1)^n\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\right\},\quad k=0,1,\ldots.

問題3​

曲線 ∂D\partial D は区分的に滑らかな Jordan 曲線で、D‾=D∪∂D\overline D=D\cup\partial D の近傍で f,gf,g が正則とする。∂D\partial D 上で ∣f(z)∣>∣g(z)∣|f(z)|>|g(z)| なら、ff と f+gf+g は DD 内に重複度込みで同じ個数の零点を持つ（Rouché の定理）。これを踏まえて答えよ。

(1) 8z3−6z2+z8z^3-6z^2+z の零点のうち ∣z∣<1|z|<1 にあるものの個数を求めよ。

(2) z6−10z2+z+1z^6-10z^2+z+1 の零点のうち 1≤∣z∣<21\le|z|<2 にあるものの個数を求めよ。

题目描述​

ii 为虚数单位，π\pi 为圆周率，ee 为自然对数的底。

问题 1：（1）以 a+bia+bi（a,b∈Ra,b\in\mathbb R）的形式列出 ∑n=15zn=−1\sum_{n=1}^5z^n=-1 的全部解。

（2）ff 在区域 DD 内全纯，对 DD 内的简单闭曲线 CC 及内部点 aa，有 f(a)=(2πi)−1∫Cf(z)/(z−a) dzf(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)\,dz。判断 f′(a)=(2πi)−1∫Cf(z)/(z−a)2 dzf'(a)=(2\pi i)^{-1}\int_C f(z)/(z-a)^2\,dz 是否成立；成立则依据复导数定义证明，否则给出反例。

问题 2：令 f(z)=ez/(z−1)f(z)=e^z/(z-1)。

（1）求 0<∣z−1∣0<|z-1| 上的 Laurent 展开 ∑n=0∞an(z−1)n+∑n=1∞bn(z−1)−n\sum_{n=0}^\infty a_n(z-1)^n+\sum_{n=1}^\infty b_n(z-1)^{-n} 的系数及 z=1z=1 处的留数。

（2）在 ∣z∣>1|z|>1 上写成 f(z)=∑k=0∞ckzk+∑k=1∞dkz−kf(z)=\sum_{k=0}^\infty c_kz^k+\sum_{k=1}^\infty d_kz^{-k}，求 d1d_1。

（3）考虑 ∣z∣<1|z|<1 内相同形式的展开，说明为什么所有 dk=0d_k=0，并证明对 k≥0k\ge0：

ck=1k!{∑n=k∞an(−1)n−kn!(n−k)!+∑n=1∞bn(−1)n(n+k−1)!(n−1)!}.c_k=\frac1{k!}\left\{\sum_{n=k}^\infty a_n(-1)^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!} +\sum_{n=1}^\infty b_n(-1)^n\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}\right\}.

问题 3：允许使用 Rouché 定理：若 ∂D\partial D 是分段光滑 Jordan 曲线，f,gf,g 在闭区域附近全纯，且边界上 ∣f∣>∣g∣|f|>|g|，则 ff 和 f+gf+g 在 DD 内的零点数（计重数）相同。

（1）求 8z3−6z2+z8z^3-6z^2+z 在 ∣z∣<1|z|<1 内的零点数。

（2）求 z6−10z2+z+1z^6-10z^2+z+1 在 1≤∣z∣<21\le|z|<2 内的零点数。

Kai​

問題1​

(1) z=1z=1 は解でない。等比数列の和より z6=1z^6=1 かつ z≠1z\ne1。従って

z=−1,12±32i,−12±32i.\boxed{z=-1,\quad\frac12\pm\frac{\sqrt3}2i,\quad-\frac12\pm\frac{\sqrt3}2i}.

(2) 成り立つ。∣h∣|h| を十分小さくとると

f(a+h)−f(a)h=12πi∫Cf(z)(z−a−h)(z−a) dz.\frac{f(a+h)-f(a)}h=\frac1{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a-h)(z-a)}\,dz.

δ=min⁡z∈C∣z−a∣>0\delta=\min_{z\in C}|z-a|>0 であり、∣h∣<δ/2|h|<\delta/2 のとき右辺の核は h→0h\to0 で (z−a)−2(z-a)^{-2} に一様収束する。よって積分と極限を交換して所望の公式を得る。

問題2​

(1) w=z−1w=z-1 とすれば f=e ew/wf=e\,e^w/w だから

an=e(n+1)!,b1=e,bn=0 (n≥2),Res⁡(f,1)=e.\boxed{a_n=\frac e{(n+1)!},\quad b_1=e,\quad b_n=0\ (n\ge2),\quad\operatorname{Res}(f,1)=e}.

(2) ∣z∣>1|z|>1 で 1/(z−1)=∑j≥1z−j1/(z-1)=\sum_{j\ge1}z^{-j}。eze^z の級数との積の z−1z^{-1} 係数は ∑m≥01/m!=e\sum_{m\ge0}1/m!=e なので d1=e\boxed{d_1=e}。

(3) ff は単位円内で正則だから Taylor 展開を持ち、負の次数の係数はすべて零である。z=1z=1 中心の級数を kk 回微分して z=0z=0 を代入し、ck=f(k)(0)/k!c_k=f^{(k)}(0)/k! とすれば

dkdzk(z−1)n∣z=0=(−1)n−kn!(n−k)!,\frac{d^k}{dz^k}(z-1)^n\Big|_{z=0}=(-1)^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!},
dkdzk(z−1)−n∣z=0=(−1)n(n+k−1)!(n−1)!\frac{d^k}{dz^k}(z-1)^{-n}\Big|_{z=0}=(-1)^n\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}

より所望の関係式を得る。なお、この場合は ck=−∑j=0k1/j!c_k=-\sum_{j=0}^k1/j! とも書ける。

問題3​

(1) ∣z∣=1|z|=1 で ∣−6z2+z∣≤7<8=∣8z3∣|-6z^2+z|\le7<8=|8z^3|。Rouché の定理より零点数は 3\boxed3。

(2) ∣z∣=2|z|=2 では ∣−10z2+z+1∣≤43<64=∣z6∣|-10z^2+z+1|\le43<64=|z^6| なので内部に 66 個。∣z∣=1|z|=1 では ∣z6+z+1∣≤3<10=∣−10z2∣|z^6+z+1|\le3<10=|-10z^2| なので内部に 22 個。境界に零点はないため、求める数は 6−2=4\boxed{6-2=4}。

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