京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2022年8月実施 専門科目 確率統計

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AKIRA (小红书:94184092292), setsu (小红书:6106647283)

Description

以下の問題において， は の自然対数を表し， は事象 の確率を表す。 また， は平均 、分散 の正規分布を表し， の累積分布関数 を で表す。 正規分布に関する次の性質を解答に用いてよい。 確率変数 が独立に正規分布 にしたがうとき， は正規分布にしたがう。また，定数 に対して， は正規分布にしたがう。

問題1

確率変数 は独立に正規分布にしたがい， , とする。 実数 は未知のパラメータである。 の標本平均を , の標本平均を とおく。 このとき、以下の設問に答えよ。ただし、 および の逆関数を とする。

(1) のしたがう確率分布を求めよ。

(2) 帰無仮説 、対立仮説 の仮説検定を有意水準 () で行いたい。そのために定数 を定めておき、 のとき を棄却する。定数 を を用いて表せ。

(3) 設問 (2) における検出力 を求め、 を用いて表せ。ここで検出力とは、対立仮説のもとで帰無仮説を棄却する確率である。

(4) 帰無仮説 、対立仮説 の仮説検定を有意水準 () で行いたい。定数 を定めておき、検定統計量 が のとき を棄却する。ただし、 は事前に定めておく定数とする。定数 を求めよ。

(5) 設問 (4) における検出力 を求め、 を用いて表せ。また、 を最大にするように を定めたい。 の最大値と、そのときの を求めよ。

問題2

以下の設問に答えよ。

(1) 任意の確率変数 に対する累積分布関数 は、 を満たす任意の に対して

を満たす。その理由を述べよ。

(2) と を 上の一様分布にしたがう独立な確率変数とする。

によって定義される確率変数 の確率密度関数 を求めよ。

(3) は を値にとる確率変数で、 とする。 また、 を のとき 、 のとき にしたがう確率変数とする。 を で条件付けられた の条件付き確率密度関数、 を の確率密度関数とする。

(3-1) および を求めよ。

(3-2) は観測できず、 からの独立な確率変数 のみが観測されるとする。 このとき、 の最尤推定量 の満たすべき方程式（ の陰関数表示）を次の形

で表現したときの を求めよ。 ただし であり、また , を満たすものとする。

(3-3) のとき、設問 (3-2) の を求めよ。また、この が の不偏推定量であるか否かを理由を付して答えよ。ただし とする。

Kai

問題1

(1)

(2)

, とおくと、

(3)

(4)

、再生性より、

のとき、

よって、

(5)

より、

問題2