京都大学情報学研究科システム科学専攻 2022年8月実施専門科目制御工学

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以下の設問に答えよ。

(1) 入力と出力の関係が微分方程式

で記述されるシステムにおいて、入力と出力がそれぞれ一定値となる平衡状態を考える。のとき、平衡状態からの入力と出力の微小変化をそれぞれとしてこの微分方程式を線形化し、からへの伝達関数を求めよ。

(2) 伝達関数が

であるシステムのステップ応答を求めよ。

(3) 図1のフィードバック制御系において、

とする。ここでは定数パラメータであり、とする。
を満たすすべてのに対してフィードバック制御系が安定となる
の条件を求めよ。

(4) 設問(3)のフィードバック制御系においてとする。単位ステップ入力に対する出力がとを満たす
の条件を求めよ。

位相進み補償

は特定の周波数帯域で位相を進める働きをする補償器である。ただし、は正の定数、は未満の正の定数である。このとき、次の命題が成り立つ。

以下の設問に答えよ。

(1) 角周波数における周波数伝達関数のゲインを求めよ。

(2) のときののボード線図の概形を描け。
この際、軸上に主要な値を書き入れよ。ただし、ゲイン線図は折線近似でよい。また、近似値を用いよ。

(3) 図2のような伝達関数とのフィードバック制御系について考える。の場合の位相交差周波数が、ゲイン余裕がであるとする。ここでを満たす位相進み補償によって、の場合の開ループ系の周波数伝達関数が次の2つの条件を満たすようにしたい。

このような定数を求めよ。なお、近似値を用いよ。

(4) 命題1を証明せよ。ただし、次の公式を用いてよい。