京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2022年8月実施 専門科目 制御工学

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AKIRA (小红书:94184092292)

Description

問題1

以下の設問に答えよ。

(1) 入力 $u(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式

$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2\sin y(t) = u(t)$$

で記述されるシステムにおいて、入力と出力がそれぞれ一定値 $u(t) = \bar{u}, \; y(t) = \bar{y}$ となる平衡状態を考える。 $\bar{y} = \pi/2$ のとき、平衡状態からの入力と出力の微小変化をそれぞれ $\delta u(t), \delta y(t)$ としてこの微分方程式を線形化し、$\delta u$ から $\delta y$ への伝達関数を求めよ。

(2) 伝達関数が

$$\frac{1}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$

であるシステムのステップ応答を求めよ。

(3) 図1のフィードバック制御系において、

$$P(s) = \frac{1}{s^2 + as + 2}, \quad K(s) = b + \frac{c}{s}$$

とする。ここで $a, b, c$ は定数パラメータであり、$c \neq 0$ とする。
$2 \leq a \leq 5$ を満たすすべての $a$ に対してフィードバック制御系が安定となる
$b, c$ の条件を求めよ。

(4) 設問(3)のフィードバック制御系において $a=1$ とする。単位ステップ入力 $r(t)=1$ に対する出力 $y(t)$ が $\lim_{t\to\infty} y(t) = 1$ と $\left| \frac{d^2 y}{dt^2}(0) \right| \leq 1$ を満たす
$b, c$ の条件を求めよ。

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問題2

位相進み補償

$$C(s) = k \frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}$$

は特定の周波数帯域で位相を進める働きをする補償器である。ただし、$k, T$ は正の定数、$\alpha$ は $1$ 未満の正の定数である。このとき、次の命題が成り立つ。

• 命題1 周波数伝達関数 $C(j\omega)$ の位相の最大値は $\arctan \frac{1-\alpha}{2\sqrt{\alpha}}$ であり、この最大値は角周波数 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$ に対して得られる。

以下の設問に答えよ。

(1) 角周波数 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$ における周波数伝達関数 $C(j\omega)$ のゲインを求めよ。

(2) $k=1, T=2, \alpha=0.1$ のときの $C(s)$ のボード線図の概形を描け。
この際、軸上に主要な値を書き入れよ。ただし、ゲイン線図は折線近似でよい。また、近似値 $\arctan(0.9\sqrt{10}/2) \approx 55^\circ$ を用いよ。

(3) 図2のような伝達関数 $P(s)$ と $K(s)$ のフィードバック制御系について考える。$K(s)=1$ の場合の位相交差周波数が $\omega_{pc}=3$、ゲイン余裕が $GM=3 \,\mathrm{dB}$ であるとする。ここで $\omega_m=\omega_{pc}$ を満たす位相進み補償 $C(s)$ によって、$K(s) = C(s)$ の場合の開ループ系の周波数伝達関数 $P(j\omega)K(j\omega)$ が次の2つの条件を満たすようにしたい。

• (a) 角周波数 $\omega_{pc}$ における位相が $-135^\circ$ である。
• (b) 角周波数 $\omega_{pc}$ におけるゲインが $0$ dB である。

このような定数 $k, T, \alpha$ を求めよ。なお、近似値 $2 \approx 6 \,\mathrm{dB}$ を用いよ。

(4) 命題1を証明せよ。ただし、次の公式を用いてよい。

$$\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}$$

Kai

問題1

問題2