京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2022年8月実施 専門科目 制御工学

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• Transfer-Function
• Step-Response
• Routh-Hurwitz-Stability
• Lead-Compensation
• Bode-Plot-and-Stability-Margins

Author

AKIRA (小红书:94184092292), 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

問題1

以下の設問に答えよ。

(1) 入力 $u(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式

$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2\sin y(t) = u(t)$$

で記述されるシステムにおいて、入力と出力がそれぞれ一定値 $u(t) = \bar{u}, \; y(t) = \bar{y}$ となる平衡状態を考える。 $\bar{y} = \pi/2$ のとき、平衡状態からの入力と出力の微小変化をそれぞれ $\delta u(t), \delta y(t)$ としてこの微分方程式を線形化し、$\delta u$ から $\delta y$ への伝達関数を求めよ。

(2) 伝達関数が

$$\frac{1}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$

であるシステムのステップ応答を求めよ。

(3) 図1のフィードバック制御系において、

$$P(s) = \frac{1}{s^2 + as + 2}, \quad K(s) = b + \frac{c}{s}$$

とする。ここで $a, b, c$ は定数パラメータであり、$c \neq 0$ とする。
$2 \leq a \leq 5$ を満たすすべての $a$ に対してフィードバック制御系が安定となる
$b, c$ の条件を求めよ。

(4) 設問(3)のフィードバック制御系において $a=1$ とする。単位ステップ入力 $r(t)=1$ に対する出力 $y(t)$ が $\lim_{t\to\infty} y(t) = 1$ と $\left| \frac{d^2 y}{dt^2}(0) \right| \leq 1$ を満たす
$b, c$ の条件を求めよ。

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問題2

位相進み補償

$$C(s) = k \frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}$$

は特定の周波数帯域で位相を進める働きをする補償器である。ただし、$k, T$ は正の定数、$\alpha$ は $1$ 未満の正の定数である。このとき、次の命題が成り立つ。

• 命題1 周波数伝達関数 $C(j\omega)$ の位相の最大値は $\arctan \frac{1-\alpha}{2\sqrt{\alpha}}$ であり、この最大値は角周波数 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$ に対して得られる。

以下の設問に答えよ。

(1) 角周波数 $\omega_m = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T}$ における周波数伝達関数 $C(j\omega)$ のゲインを求めよ。

(2) $k=1, T=2, \alpha=0.1$ のときの $C(s)$ のボード線図の概形を描け。
この際、軸上に主要な値を書き入れよ。ただし、ゲイン線図は折線近似でよい。また、近似値 $\arctan(0.9\sqrt{10}/2) \approx 55^\circ$ を用いよ。

(3) 図2のような伝達関数 $P(s)$ と $K(s)$ のフィードバック制御系について考える。$K(s)=1$ の場合の位相交差周波数が $\omega_{pc}=3$、ゲイン余裕が $GM=3 \,\mathrm{dB}$ であるとする。ここで $\omega_m=\omega_{pc}$ を満たす位相進み補償 $C(s)$ によって、$K(s) = C(s)$ の場合の開ループ系の周波数伝達関数 $P(j\omega)K(j\omega)$ が次の2つの条件を満たすようにしたい。

• (a) 角周波数 $\omega_{pc}$ における位相が $-135^\circ$ である。
• (b) 角周波数 $\omega_{pc}$ におけるゲインが $0$ dB である。

このような定数 $k, T, \alpha$ を求めよ。なお、近似値 $2 \approx 6 \,\mathrm{dB}$ を用いよ。

(4) 命題1を証明せよ。ただし、次の公式を用いてよい。

$$\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}$$

题目描述

1. 回答下列问题。

   （1）某系统的输入 $u(t)$ 与输出 $y(t)$ 满足

   $$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\sin y(t)=u(t).$$

   考虑输入、输出分别取常值 $u(t)=\bar u$、$y(t)=\bar y$ 的平衡状态。当 $\bar y=\pi/2$ 时，令相对平衡状态的微小输入、输出变化分别为 $\delta u(t),\delta y(t)$。线性化该微分方程，并求从 $\delta u$ 到 $\delta y$ 的传递函数。

   （2）求传递函数

   $$\frac1{(s+1)(s^2+2s+5)}$$

   所对应系统的阶跃响应。

   （3）在图 1 的反馈控制系统中，

   $$P(s)=\frac1{s^2+as+2},\qquad K(s)=b+\frac cs,$$

   其中 $a,b,c$ 为常数参数且 $c\ne0$。求 $b,c$ 的条件，使系统对满足 $2\leq a\leq5$ 的每一个 $a$ 都稳定。

   

   （4）对第（3）问的反馈系统取 $a=1$。求 $b,c$ 的条件，使单位阶跃输入 $r(t)=1$ 的输出 $y(t)$ 同时满足

   $$\lim_{t\to\infty}y(t)=1,\qquad \left|\frac{d^2y}{dt^2}(0)\right|\leq1.$$

2. 相位超前补偿器

   $$C(s)=k\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}$$

   在特定频带内提供相位超前，其中 $k,T>0$，$0<\alpha<1$。已知以下命题：

   频率响应 $C(j\omega)$ 的最大相位为

   $$\arctan\frac{1-\alpha}{2\sqrt\alpha},$$

   且在角频率

   $$\omega_m=\frac1{\sqrt\alpha T}$$

   处取得。

   （1）求 $\omega=\omega_m=\frac1{\sqrt\alpha T}$ 时 $C(j\omega)$ 的增益。

   （2）当 $k=1,T=2,\alpha=0.1$ 时，画出 $C(s)$ 的 Bode 图概形，并在坐标轴上标出主要数值。增益图可采用折线近似，并可使用

   $$\arctan(0.9\sqrt{10}/2)\approx55^\circ.$$

   （3）考虑图 2 所示由 $P(s),K(s)$ 构成的反馈控制系统。当 $K(s)=1$ 时，相位交叉频率为 $\omega_{pc}=3$，增益裕度为 $GM=3\,\mathrm{dB}$。现采用满足 $\omega_m=\omega_{pc}$ 的相位超前补偿器 $C(s)$，并令 $K(s)=C(s)$，要求开环频率响应 $P(j\omega)K(j\omega)$ 同时满足：

   • 在 $\omega_{pc}$ 处的相位为 $-135^\circ$；
   • 在 $\omega_{pc}$ 处的增益为 $0\,\mathrm{dB}$。

   求相应的 $k,T,\alpha$。可使用近似 $2\approx6\,\mathrm{dB}$。

   （4）证明上述关于最大相位及其取得频率的命题。可使用

   $$\tan(x-y)= \frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}.$$

   

Kai

問題1

問題2

(1)

$$|C(j\omega_m)| =k\sqrt{\frac{1+1/\alpha}{1+\alpha}} =\boxed{\frac{k}{\sqrt\alpha}}.$$

(2)

$C(s)=(2s+1)/(0.2s+1)$ だから、折点は $\omega=0.5,5$ である。ゲインの折線近似は

$$20\log_{10}|C(j\omega)|\simeq \begin{cases} 0,&\omega\le0.5,\\ 20\log_{10}(2\omega),&0.5<\omega<5,\\ 20,&\omega\ge5. \end{cases}$$

位相は $\arctan(2\omega)-\arctan(0.2\omega)$ であり、$\omega\to0,\infty$ で $0^\circ$ に近づく。最大値は $\omega_m=\sqrt{10}/2$ における約 $55^\circ$ である。

(3)

$\omega_{pc}=3$ では $P(j\omega_{pc})$ の位相が $-180^\circ$、ゲインが $-3\,\mathrm{dB}$ である。従って補償器に必要な位相進みは $45^\circ$ であり、

$$\frac{1-\alpha}{2\sqrt\alpha}=1, \qquad \alpha=3-2\sqrt2,\quad \sqrt\alpha=\sqrt2-1.$$

必要な補償器のゲインは $+3\,\mathrm{dB}$ である。指定された近似 $2\simeq6\,\mathrm{dB}$ を用いると、$k/\sqrt\alpha=\sqrt2$ となる。よって

$$\boxed{k=2-\sqrt2,\qquad T=\frac{\sqrt2+1}{3},\qquad\alpha=3-2\sqrt2}.$$

(4)

$0<\alpha<1$、$\omega>0$ だから、位相 $\phi(\omega)=\arctan(T\omega)-\arctan(\alpha T\omega)$ は $(0,\pi/2)$ に属する。また、

$$\tan\phi(\omega) =\frac{(1-\alpha)T\omega}{1+\alpha T^2\omega^2} =\frac{1-\alpha}{1/(T\omega)+\alpha T\omega} \le\frac{1-\alpha}{2\sqrt\alpha}.$$

相加相乗平均の等号条件は $1/(T\omega)=\alpha T\omega$、すなわち $\omega=1/(\sqrt\alpha T)$ である。$\arctan$ の単調性から命題1が従う。