京都大学情報学研究科システム科学専攻 2021年8月実施専門科目確率統計

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確率変数は確率密度関数

の指数分布にしたがう。ただしはパラメータである。ある定数に対して、帰無仮説、対立仮説の仮説検定を有意水準で行いたい。以下の設問に答えなさい。その導出過程も示すこと。

(1) 定数を定めておき、のときを棄却する。この仮説検定の有意水準がとなるような定数を求めよ。

(2) 定数を定めておき、パラメータの信頼区間を

とする。を満たすような定数を求めよ。

(3) 与えられた定数に対して、事象を条件とするの条件付き分布にしたがう確率変数を定義する。すなわち、任意のに対してである。定数を定めておき、のときを棄却する。この仮説検定の有意水準がとなるような定数を求めよ。

(4) 設問(3)の確率変数からパラメータの信頼区間をつくりたい。ある関数を用いて、

とする。を満たすような関数を求めよ。

以下の設問に答えなさい。ただし、は平均、分散の正規分布、は期待値を表す。

(1) 独立ではないが無相関であるような実確率変数の組の例を1つ挙げよ。またそれが独立ではないこと、無相関であることの証明も示せ。

(2) とを独立なに従う確率変数とする。が従う確率分布の確率密度関数を求めよ。

以下の設問では、次のように定義される関数

およびなるパラメータを持つ確率密度関数

を用いる。確率密度関数を持つ確率分布をとする。また必要であればに対してを用いてよい。

(3) に従う確率変数について、そのモーメント母関数

が有限であるような実数の条件を示し、そのときのの値を求めよ。

(4) 確率変数は独立でに従うものとする。このときは、あるパラメータを持つに従うことを示すとともに、をを用いて表せ。

(5) に従う確率変数の期待値と分散をを用いて表せ。

(6) をパラメータが未知であるからの無作為標本とする。設問(5)の結果とモーメント法を用いて、に対する推定値を標本平均

の関数として表せ。ただしモーメント法とは、パラメータを個持つ確率密度関数のモーメント

を標本モーメント

と等しいと置き、なる個の連立方程式をについて解くことで、推定値を得る方法である。