跳到主要内容

京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2021年8月実施 数学【II】

标签：

Author​

AKIRA

Description​

問1​

R\mathbb{R} を実数全体からなる集合とし、ee をネイピア数（自然対数の底）とする。実数 M>0M > 0 に対して xyxy-平面上の領域 D(M)D(M) を

D(M)={(x,y)∈R2:y>0,  Mx>y2}D(M) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0, \; Mx > y^2 \}

とし、以下の積分を考える。ただし α,β\alpha, \beta は実数とする。

Iα,β(M)=∬D(M)(1+y2x)−α(1+xy2)−1/2e−β(x+y2)−x+y2+y dxdyI_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{D(M)} \left(1 + \frac{y^2}{x} \right)^{-\alpha} \left( 1 + \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2} e^{-\beta(x+y^2) - \sqrt{x+y^2} + y} \, dxdy

この積分を求めるために、以下の写像によって変数 (x,y)(x,y) を (z,w)(z,w) に変換することを考える。

z=x+y2,w=y2x+y2z = x + y^2, \quad w = \frac{y^2}{x + y^2}

以下の設問に答えよ。なお、以降では自然数 n≥1n \geq 1 について次式が成り立つことを用いて良い。

∫0∞tn−1e−tdt=(n−1)!\int_0^{\infty} t^{n-1}e^{-t}dt = (n-1)!

(i) 上記の写像による領域 D(M)D(M) の zwzw-平面上の像 E(M)E(M) を求めよ。

(ii) 以下の空欄に入る式を z,w,α,βz, w, \alpha, \beta を用いて表せ。

Iα,β(M)=∬E(M)    dzdwI_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{E(M)} \; \boxed{\quad \quad} \; dzdw

(iii) I0,0(1/3)=12∫01/4∫0∞e−(1−w)zz dzdwI_{0,0}(1/3) = \frac{1}{2} \int_0^{1/4} \int_{0}^{\infty} e^{-(1-\sqrt{w})\sqrt{z}} \sqrt{z} \, dzdw の値を求めよ。

(iv) 任意の β>0\beta > 0 に対して

lim⁡M→∞log⁡I−1,β(M)log⁡log⁡M=1\lim_{M \to \infty} \frac{\log I_{-1,\beta}(M)}{\log \log M} = 1

が成立つことを示せ。

問2​

x,y,zx,y,z を直交座標系とする3次元ユークリッド空間における2つの楕円体

E:x2a2+y2b2+z2c2=1,E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
E′:x2a2+y2b2+z2c2=3E' : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 3

を考える。ただし、a,b,ca,b,c は正の定数とする。以下の設問に答えよ。

(i) EE 上の点 P(p,q,r)P(p,q,r) における EE の接平面の方程式を求めよ。

(ii) EE の外部の 11 点 Q(l,m,n)Q(l,m,n) を考える。QQ を通る EE の接平面すべてを考え、それらの接点の集合を WW とする。WW は、ある平面 SS に含まれる（図1）。平面 SS の方程式を求めよ。

設問(ii)で求めた SS によるの切断面は楕円となる。以下ではこの楕円を RR とする。

(iii) 設問(ii)の点 QQ が楕円体 E′E' 上にあるとき、RR の中心座標 T(x0,y0,z0)T(x_0,y_0,z_0) を求めよ。

(iv) 設問(ii)の点 QQ が楕円体 E′E' 上を動くとき、設問(iii)で示した RR の中心座標について、各成分の積

J=x0y0z0J = x_0 y_0 z_0

が最大となる点 Q(l,m,n)Q(l,m,n) とそのときの JJ の値を求めよ。

题目描述​

  1. 令 R\mathbb R 为实数集，ee 为自然对数的底。对实数 M>0M>0，在 xyxy 平面上定义区域

    D(M)={(x,y)∈R2∣y>0, Mx>y2}.D(M)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y>0,\ Mx>y^2\}.

    对实数 α,β\alpha,\beta，考虑积分

    Iα,β(M)=∬D(M)(1+y2x)−α(1+xy2)−1/2e−β(x+y2)−x+y2+y dx dy.I_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{D(M)} \left(1+\frac{y^2}{x}\right)^{-\alpha} \left(1+\frac{x}{y^2}\right)^{-1/2} e^{-\beta(x+y^2)-\sqrt{x+y^2}+y} \,dx\,dy.

    为计算该积分，作变量变换

    z=x+y2,w=y2x+y2.z=x+y^2,\qquad w=\frac{y^2}{x+y^2}.

    以下可使用对自然数 n≥1n\geq1 成立的公式

    ∫0∞tn−1e−t dt=(n−1)!.\int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}\,dt=(n-1)!.

    （i）求区域 D(M)D(M) 在上述映射下于 zwzw 平面中的像 E(M)E(M)。

    （ii）用 z,w,α,βz,w,\alpha,\beta 写出下式方框中的被积函数：

    Iα,β(M)=∬E(M) dz dw.I_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{E(M)} \boxed{\qquad}\,dz\,dw.

    （iii）计算

    I0,0 ⁣(13)=12∫01/4∫0∞e−(1−w)zz dz dw.I_{0,0}\!\left(\frac13\right) = \frac12\int_0^{1/4}\int_0^\infty e^{-(1-\sqrt w)\sqrt z}\sqrt z\,dz\,dw.

    （iv）证明对任意 β>0\beta>0，

    lim⁡M→∞log⁡I−1,β(M)log⁡log⁡M=1.\lim_{M\to\infty} \frac{\log I_{-1,\beta}(M)} {\log\log M} =1.

  2. 在以 x,y,zx,y,z 为直角坐标的三维 Euclidean 空间中，考虑两个椭球面

    E:x2a2+y2b2+z2c2=1,E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,
    E′:x2a2+y2b2+z2c2=3,E':\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=3,

    其中 a,b,ca,b,c 为正常数。

    （i）求椭球面 EE 在点 P(p,q,r)∈EP(p,q,r)\in E 处的切平面方程。

    （ii）取椭球 EE 外一点 Q(l,m,n)Q(l,m,n)，考虑所有经过 QQ 且与 EE 相切的平面，并令其全部切点组成集合 WW。如图 1 所示，WW 包含在某个平面 SS 内，求 SS 的方程。

    平面 SS 截取椭球所得截面为一个椭圆，以下记为 RR。

    （iii）当第（ii）问的点 QQ 位于椭球面 E′E' 上时，求椭圆 RR 的中心坐标 T(x0,y0,z0)T(x_0,y_0,z_0)。

    （iv）当 QQ 在椭球面 E′E' 上移动时，求使 RR 的中心坐标分量乘积

    J=x0y0z0J=x_0y_0z_0

    最大的点 Q(l,m,n)Q(l,m,n)，以及该最大值。

考点​

  • 二重积分的变量代换：求逆变换、Jacobian 和变换后区域，并整理复杂被积函数。
  • 反常积分与渐近估计：利用 Gamma 积分计算特殊参数情形，并通过上下界证明对数渐近式。
  • 隐式曲面的切平面：使用椭球定义函数的梯度写出切平面。
  • 极平面与椭球截面：刻画外点所有切点所在平面，并求平面截椭球的中心。
  • 约束优化：在椭球约束下最大化三个坐标分量的乘积。

Kai​

問1​

問2​

本页目录