京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2021年8月実施 数学【I】
Author
AKIRA, 祭音Myyura
Description
次の漸化式を満たす実数の数列 について、以下の設問に答え
よ.なお, は実数である。
(i) この数列について、次式が成り立つ行列 を求めよ。
(ii) 行列 の固有値と固有ペクトルをすべて求めよ。
(iii) 任意の に対して数列 が収束するとき、実数 が満たすべき必要十分条件を求めよ。
(iv) のとき、次式で与えられる を求めよ。
は実数全体からなる集合, はネイピア数(自然対数の底)とする.
についての高々2次の実係数多項式の集合 は 上のベクトル空間とみなせる。
についての二つの連続関数 に対する内積を
で定めると、 は上記の内積について内積空間となる。以下の設問に答えよ。
(i) 任意の と について、コーシー・シュワルツの不等式
が成り立つことを示せ。
(ii) の基底 が正規直交基底をなすか否かを、理由とともに示せ。
(iii) Vの基底 は正規直交基底をなさない、グラム・シュミットの直交化法により、正規直交基底を構成せよ。
(iv) を多項式 を用いて、
が最小となるように近似したい。(iii) で求めた正規直交基底を用いて、 を求めよ。
Kai
(i)
(ii)
(iii)
(i) より、 が成り立つから、任意の に対して数列 が収束するとき、実数 が満たすべき必要十分条件は
即ち、。
(iv)
のとき、
従って、
