京都大学情報学研究科システム科学専攻 2021年8月実施専門科目制御工学

标签：

Author

図1のフィードバック制御系において、伝達関数 $P(s)$ と $F(s)$ はそれぞれ以下の微分方程式で記述されるシステムを表すとする。

\frac{d^2y(t)}{dt^2} - 5\frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = u(t)

a\frac{dz(t)}{dt} + z(t) = y(t)

また、

K(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + K_D s

とする。 $a, K_P, K_I, K_D$ は定数パラメータである。以下の設問に答えよ。

(1) 伝達関数 $P(s), F(s)$ と、 $r$ から $y$ への伝達関数 $G_{yr}(s)$ を求めよ。

(2) $a = 0, K_P = 2, K_I = 0, K_D = 10$ のとき、単位ステップ入力 $r(t) = 1$ に対する応答 $y(t)$ を求めよ。

(3) $K_I = 1$ のとき、フィードバック制御系が安定となるような $a, K_P, K_D$ の条件を求めよ。

$P(s)$ は図2のようなベクトル軌跡を持つ伝達関数であり、それぞれの極は $0$ （重複はない）であるが、実部が負である。図2の破線はベクトル軌跡の漸近線を表す。 $k$ は正の定数とする。以下の設問に答えよ。

(1) 図3(a)のフィードバック制御系が安定であるような $k$ の条件を求めよ。

(2) 図3(a)のフィードバック制御系のゲイン余裕が 20dB 以上になるような $k$ の条件を求めよ。

(3) 図3(b)のフィードバック制御系が $[-0.25, 0.25]$ の範囲にあるすべての実数 $\delta$ に対して安定であるような $k$ の条件を求めよ。

(4) 自然数 $n$ と非負の実数 $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ に対して、

\frac{1}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0}

は図2のようなベクトル軌跡を持つ伝達関数とする。このうち $n$ が最小であるようなものを求めよ。