京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2021年7月実施 専門科目 確率統計

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AKIRA (小红书:94184092292), 祭音Myyura

Description

大学公表の原題

問題1

確率変数 $X$ は確率密度関数

$$f(x; \theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$$

の指数分布にしたがう。ただし $\theta > 0$ はパラメータである。 ある定数 $\theta_0 > 0$ に対して、帰無仮説 $H_0 : \theta = \theta_0$、対立仮説 $H_1 : \theta < \theta_0$ の仮説検定を有意水準 $\alpha \ (0 < \alpha < 1)$ で行いたい。 以下の設問に答えなさい。その導出過程も示すこと。

(1) 定数 $b > 0$ を定めておき、$X > b$ のとき $H_0$ を棄却する。 この仮説検定の有意水準が $\alpha$ となるような定数 $b$ を求めよ。

(2) 定数 $c > 0$ を定めておき、パラメータ $\theta$ の信頼区間を

$$S(x) = \left\{ \theta \mid 0 < \theta \le \frac{c}{x} \right\}$$

とする。$P(\theta \in S(X)) = 1 - \alpha$ を満たすような定数 $c$ を求めよ。

(3) 与えられた定数 $d > 0$ に対して、事象 $\{ X > d \}$ を条件とする $X$ の条件付き分布にしたがう確率変数 $Y$ を定義する。 すなわち、任意の $y > d$ に対して $P(Y > y) = P(X > y \mid X > d)$ である。 定数 $b' > d$ を定めておき、$Y > b'$ のとき $H_0$ を棄却する。この仮説検定の有意水準が $\alpha$ となるような定数 $b'$ を求めよ。

(4) 設問(3)の確率変数 $Y$ からパラメータ $\theta$ の信頼区間をつくりたい。 ある関数 $h(y)$ を用いて、

$$T(y) = \{ \theta \mid 0 < \theta \le h(y) \}$$

とする。$P(\theta \in T(Y)) = 1 - \alpha$ を満たすような関数 $h(y)$ を求めよ。

問題2

以下の設問に答えなさい。 ただし、$N(\mu, \sigma^2)$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布、$E[\cdot]$ は期待値を表す。

(1) 独立ではないが無相関であるような実確率変数の組 $(X, Y)$ の例を1つ挙げよ。 またそれが独立ではないこと、無相関であることの証明も示せ。

(2) $X$ と $Y$ を独立な $N(0, 1)$ に従う確率変数とする。 $Z = X / Y$ が従う確率分布の確率密度関数を求めよ。

以下の設問では、次のように定義される関数 $\Gamma(a)$

$$\Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} dx$$

および $a, b > 0$ なるパラメータを持つ確率密度関数 $g(x; a, b)$

$$g(x; a, b) = \begin{cases} (b^a \Gamma(a))^{-1} x^{a-1} e^{-\frac{x}{b}}, &x > 0 \\ 0, &x \le 0 \end{cases}$$

を用いる。 確率密度関数 $g(x; a, b)$ を持つ確率分布を $G(a, b)$ とする。 また必要であれば $a > 0$ に対して $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$ を用いてよい。

(3) $G(a, b)$ に従う確率変数 $X$ について、そのモーメント母関数

$$M_X(r) = E[e^{rX}]$$

が有限であるような実数 $r$ の条件を示し、そのときの $M_X(r)$ の値を求めよ。

(4) 確率変数 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ は独立で $N(0, v)$ に従うものとする。 このとき $Y = \sum_{i=1}^n X_i^2$ は、あるパラメータ $a_1, b_1$ を持つ $G(a_1, b_1)$ に従うことを示すとともに、$a_1, b_1$ を $v, n$ を用いて表せ。

(5) $G(a, b)$ に従う確率変数 $X$ の期待値 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を $a, b$ を用いて表せ。

(6) $x_1, x_2, \ldots, x_n$ をパラメータ $a, b$ が未知である $G(a, b)$ からの無作為標本とする。 設問(5)の結果とモーメント法を用いて、$a, b$ に対する推定値 $\hat{a}, \hat{b}$ を標本平均

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \quad s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$$

の関数として表せ。ただしモーメント法とは、パラメータを $K$ 個持つ確率密度関数 $f(x; \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K)$ のモーメント

$$m_k(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K) = \int_{-\infty}^\infty x^k f(x; \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K) dx$$

を標本モーメント

$$\hat{m}_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k$$

と等しいと置き、$\hat{m}_k = m_k(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K)$ $(k = 1, \ldots, K)$ なる $K$ 個の連立方程式を $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K$ について解くことで、推定値 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_K$ を得る方法である。

题目描述

1. 随机变量 $X$ 服从密度为

   $$f(x;\theta)= \begin{cases} \theta e^{-\theta x}&(x>0),\\ 0&(x\leq0) \end{cases}$$

   的指数分布，其中 $\theta>0$。对给定常数 $\theta_0>0$，希望在显著性水平 $\alpha$（$0<\alpha<1$）下检验

   $$H_0:\theta=\theta_0,\qquad H_1:\theta<\theta_0.$$

   回答下列问题并写出推导过程。

   （1）预先取常数 $b>0$，当 $X>b$ 时拒绝 $H_0$。求使该检验的显著性水平为 $\alpha$ 的 $b$。

   （2）预先取常数 $c>0$，定义参数 $\theta$ 的置信区间

   $$S(x)=\left\{\theta\ \middle|\ 0<\theta\leq\frac cx\right\}.$$

   求使 $P(\theta\in S(X))=1-\alpha$ 的 $c$。

   （3）对给定常数 $d>0$，定义随机变量 $Y$ 服从事件 $\{X>d\}$ 条件下的 $X$ 的条件分布，即对任意 $y>d$，

   $$P(Y>y)=P(X>y\mid X>d).$$

   预先取 $b'>d$，当 $Y>b'$ 时拒绝 $H_0$。求使该检验显著性水平为 $\alpha$ 的 $b'$。

   （4）希望用第（3）问的 $Y$ 构造 $\theta$ 的置信区间。对某函数 $h(y)$，令

   $$T(y)=\{\theta\mid0<\theta\leq h(y)\}.$$

   求使 $P(\theta\in T(Y))=1-\alpha$ 的函数 $h(y)$。

2. 以下 $N(\mu,\sigma^2)$ 表示均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，$E[\cdot]$ 表示期望。

   （1）给出一组不独立但不相关的实随机变量 $(X,Y)$，并证明二者不独立且不相关。

   （2）设 $X,Y$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$。求

   $$Z=\frac XY$$

   的概率密度函数。

   以下各问使用 Gamma 函数

   $$\Gamma(a)=\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x}\,dx$$

   以及参数 $a,b>0$ 的密度

   $$g(x;a,b)= \begin{cases} \dfrac{x^{a-1}e^{-x/b}}{b^a\Gamma(a)}&(x>0),\\ 0&(x\leq0). \end{cases}$$

   将具有该密度的分布记为 $G(a,b)$。必要时可使用

   $$\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)\qquad(a>0).$$

   （3）若 $X\sim G(a,b)$，求使矩母函数

   $$M_X(r)=E[e^{rX}]$$

   有限的实数 $r$ 的条件，并在该条件下求 $M_X(r)$。

   （4）设 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且均服从 $N(0,v)$。证明

   $$Y=\sum_{i=1}^nX_i^2$$

   服从某个 $G(a_1,b_1)$，并用 $v,n$ 表示 $a_1,b_1$。

   （5）若 $X\sim G(a,b)$，用 $a,b$ 表示其均值 $\mu$ 与方差 $\sigma^2$。

   （6）设 $x_1,\ldots,x_n$ 是参数 $a,b$ 未知的 $G(a,b)$ 的随机样本。利用第（5）问和矩估计法，把 $a,b$ 的估计值 $\hat a,\hat b$ 表示为

   $$\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i,\qquad s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$$

   的函数。这里，矩估计法是指：对含 $K$ 个参数 $\theta_1,\ldots,\theta_K$ 的密度 $f(x;\theta_1,\ldots,\theta_K)$，将总体矩

   $$m_k(\theta_1,\ldots,\theta_K) = \int_{-\infty}^{\infty} x^kf(x;\theta_1,\ldots,\theta_K)\,dx$$

   与样本矩

   $$\hat m_k=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^k$$

   相等，解联立方程

   $$\hat m_k=m_k(\theta_1,\ldots,\theta_K), \qquad k=1,\ldots,K,$$

   从而得到各参数估计。

Kai

問題1

問題2

(1) $X$ を $\{-1,0,1\}$ 上の一様分布、$Y=X^2$ とする。$E[X]=E[X^3]=0$ なので $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。一方

$P(Y=0\mid X=0)=1\ne P(Y=0)=1/3$

より独立ではない。

(2) 変数変換 $(X,Y)=(zy,y)$ のヤコビアンの絶対値は $|y|$ なので

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|y|}{2\pi}e^{-(1+z^2)y^2/2}\,dy=\boxed{\frac1{\pi(1+z^2)}}\quad(z\in\mathbb R).$

これは標準コーシー分布である。

(3) $r<1/b$ のとき $t=(1/b-r)x$ とおけば

$M_X(r)=\frac1{b^a\Gamma(a)}\int_0^\infty x^{a-1}e^{-(1/b-r)x}dx=(1-br)^{-a}.$

$r=1/b$ では無限遠で $x^{a-1}$ の積分が発散し、$r>1/b$ でも発散する。従って有限となる条件は $\boxed{r<1/b}$。

(4) $X_i\sim N(0,v)$ の平方の矩母関数は、ガウス積分より $E[e^{rX_i^2}]=(1-2vr)^{-1/2}$ ($r<1/(2v)$)。独立性より $Y$ の矩母関数は $(1-2vr)^{-n/2}$ となり、(3) と一致する。従って $\boxed{a_1=n/2,\ b_1=2v}$。

(5) 矩母関数を微分して

$E[X]=M_X'(0)=ab,\qquad E[X^2]=M_X''(0)=a(a+1)b^2,$

従って $\boxed{\mu=ab,\ \sigma^2=ab^2}$。

(6) $\bar x=ab$、$s^2=ab^2$ を解くと

$\boxed{\hat a=\bar x^2/s^2,\qquad \hat b=s^2/\bar x}.$

これは $s^2>0$ のときの解である。$s^2=0$（特に標本数 $n=1$）では、$a,b>0$ を満たす有限なモーメント解は存在しない。