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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2021年7月実施 数学【II】

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Author​

AKIRA

Description​

大学公表の原題

問1​

R\mathbb{R} を実数全体からなる集合とし、ee をネイピア数（自然対数の底）とする。実数 M>0M > 0 に対して xyxy-平面上の領域 D(M)D(M) を

D(M)={(x,y)∈R2:y>0,  Mx>y2}D(M) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0, \; Mx > y^2 \}

とし、以下の積分を考える。ただし α,β\alpha, \beta は実数とする。

Iα,β(M)=∬D(M)(1+y2x)−α(1+xy2)−1/2e−β(x+y2)−x+y2+y dxdyI_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{D(M)} \left(1 + \frac{y^2}{x} \right)^{-\alpha} \left( 1 + \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2} e^{-\beta(x+y^2) - \sqrt{x+y^2} + y} \, dxdy

この積分を求めるために、以下の写像によって変数 (x,y)(x,y) を (z,w)(z,w) に変換することを考える。

z=x+y2,w=y2x+y2z = x + y^2, \quad w = \frac{y^2}{x + y^2}

以下の設問に答えよ。なお、以降では自然数 n≥1n \geq 1 について次式が成り立つことを用いて良い。

∫0∞tn−1e−tdt=(n−1)!\int_0^{\infty} t^{n-1}e^{-t}dt = (n-1)!

(i) 上記の写像による領域 D(M)D(M) の zwzw-平面上の像 E(M)E(M) を求めよ。

(ii) 以下の空欄に入る式を z,w,α,βz, w, \alpha, \beta を用いて表せ。

Iα,β(M)=∬E(M)    dzdwI_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{E(M)} \; \boxed{\quad \quad} \; dzdw

(iii) I0,0(1/3)=12∫01/4∫0∞e−(1−w)zz dzdwI_{0,0}(1/3) = \frac{1}{2} \int_0^{1/4} \int_{0}^{\infty} e^{-(1-\sqrt{w})\sqrt{z}} \sqrt{z} \, dzdw の値を求めよ。

(iv) 任意の β>0\beta > 0 に対して

lim⁡M→∞log⁡I−1,β(M)log⁡log⁡M=1\lim_{M \to \infty} \frac{\log I_{-1,\beta}(M)}{\log \log M} = 1

が成立つことを示せ。

問2​

x,y,zx,y,z を直交座標系とする3次元ユークリッド空間における2つの楕円体

E:x2a2+y2b2+z2c2=1,E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
E′:x2a2+y2b2+z2c2=3E' : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 3

を考える。ただし、a,b,ca,b,c は正の定数とする。以下の設問に答えよ。

(i) EE 上の点 P(p,q,r)P(p,q,r) における EE の接平面の方程式を求めよ。

(ii) EE の外部の 11 点 Q(l,m,n)Q(l,m,n) を考える。QQ を通る EE の接平面すべてを考え、それらの接点の集合を WW とする。WW は、ある平面 SS に含まれる（図1）。平面 SS の方程式を求めよ。

設問(ii)で求めた SS による EE の切断面は楕円となる。以下ではこの楕円を RR とする。

(iii) 設問(ii)の点 QQ が楕円体 E′E' 上にあるとき、RR の中心座標 T(x0,y0,z0)T(x_0,y_0,z_0) を求めよ。

(iv) 設問(ii)の点 QQ が楕円体 E′E' 上を動くとき、設問(iii)で示した RR の中心座標について、各成分の積

J=x0y0z0J = x_0 y_0 z_0

が最大となる点 Q(l,m,n)Q(l,m,n) とそのときの JJ の値を求めよ。

楕円体 E と接点の楕円 R、中心 T

题目描述​

  1. 令 R\mathbb R 为实数集，ee 为自然对数的底。对实数 M>0M>0，在 xyxy 平面上定义区域
D(M)={(x,y)∈R2∣y>0, Mx>y2}.D(M)=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y>0,\ Mx>y^2\}.

对实数 α,β\alpha,\beta，考虑积分

Iα,β(M)=∬D(M)(1+y2x)−α(1+xy2)−1/2e−β(x+y2)−x+y2+y dx dy.I_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{D(M)} \left(1+\frac{y^2}{x}\right)^{-\alpha} \left(1+\frac{x}{y^2}\right)^{-1/2} e^{-\beta(x+y^2)-\sqrt{x+y^2}+y} \,dx\,dy.

为计算该积分，作变量变换

z=x+y2,w=y2x+y2.z=x+y^2,\qquad w=\frac{y^2}{x+y^2}.

以下可使用对自然数 n≥1n\geq1 成立的公式

∫0∞tn−1e−t dt=(n−1)!.\int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}\,dt=(n-1)!.

（i）求区域 D(M)D(M) 在上述映射下于 zwzw 平面中的像 E(M)E(M)。

（ii）用 z,w,α,βz,w,\alpha,\beta 写出下式方框中的被积函数：

Iα,β(M)=∬E(M) dz dw.I_{\alpha,\beta}(M) = \iint_{E(M)} \boxed{\qquad}\,dz\,dw.

（iii）计算

I0,0 ⁣(13)=12∫01/4∫0∞e−(1−w)zz dz dw.I_{0,0}\!\left(\frac13\right) = \frac12\int_0^{1/4}\int_0^\infty e^{-(1-\sqrt w)\sqrt z}\sqrt z\,dz\,dw.

（iv）证明对任意 β>0\beta>0，

lim⁡M→∞log⁡I−1,β(M)log⁡log⁡M=1.\lim_{M\to\infty} \frac{\log I_{-1,\beta}(M)} {\log\log M} =1.
  1. 在以 x,y,zx,y,z 为直角坐标的三维 Euclidean 空间中，考虑两个椭球面
E:x2a2+y2b2+z2c2=1,E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,
E′:x2a2+y2b2+z2c2=3,E':\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=3,

其中 a,b,ca,b,c 为正常数。

（i）求椭球面 EE 在点 P(p,q,r)∈EP(p,q,r)\in E 处的切平面方程。

（ii）取椭球 EE 外一点 Q(l,m,n)Q(l,m,n)，考虑所有经过 QQ 且与 EE 相切的平面，并令其全部切点组成集合 WW。如图 1 所示，WW 包含在某个平面 SS 内，求 SS 的方程。

平面 SS 截取椭球所得截面为一个椭圆，以下记为 RR。

（iii）当第（ii）问的点 QQ 位于椭球面 E′E' 上时，求椭圆 RR 的中心坐标 T(x0,y0,z0)T(x_0,y_0,z_0)。

（iv）当 QQ 在椭球面 E′E' 上移动时，求使 RR 的中心坐标分量乘积

J=x0y0z0J=x_0y_0z_0

最大的点 Q(l,m,n)Q(l,m,n)，以及该最大值。

楕円体 E と接点の楕円 R、中心 T

Kai​

問1​

(i) x=z(1−w),y=zwx=z(1-w),y=\sqrt{zw} と逆変換できる。y>0,Mx>y2y>0,Mx>y^2 より

E(M)={(z,w):z>0, 0<w<M/(1+M)}.\boxed{E(M)=\{(z,w):z>0,\ 0<w<M/(1+M)\}}.

(ii) ヤコビアンの絶対値は

∣∂(x,y)∂(z,w)∣=z2w.\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)}\right|=\frac{\sqrt z}{2\sqrt w}.

従って求める被積分関数は

12(1−w)αz e−βz−(1−w)z.\boxed{\frac12(1-w)^\alpha\sqrt z\, e^{-\beta z-(1-\sqrt w)\sqrt z}}.

(iii) t=(1−w)zt=(1-\sqrt w)\sqrt z とおき、∫0∞t2e−t dt=2\int_0^\infty t^2e^{-t}\,dt=2 を使うと

I0,0(1/3)=2∫01/4(1−w)−3 dw=4∫01/2u(1−u)3 du=2.I_{0,0}(1/3)=2\int_0^{1/4}(1-\sqrt w)^{-3}\,dw =4\int_0^{1/2}\frac u{(1-u)^3}\,du=\boxed2.

(iv) β>0\beta>0 を固定し

J(w)=∫0∞z e−βz−(1−w)z dzJ(w)=\int_0^\infty\sqrt z\,e^{-\beta z-(1-\sqrt w)\sqrt z}\,dz

とおく。0≤w≤10\le w\le1 に対して 0<J(0)≤J(w)≤J(1)<∞0<J(0)\le J(w)\le J(1)<\infty。従って

J(0)2log⁡(1+M)≤I−1,β(M)≤J(1)2log⁡(1+M).\frac{J(0)}2\log(1+M)\le I_{-1,\beta}(M)\le\frac{J(1)}2\log(1+M).

対数をとれば log⁡I−1,β(M)=log⁡log⁡(1+M)+O(1)\log I_{-1,\beta}(M)=\log\log(1+M)+O(1) だから

lim⁡M→∞log⁡I−1,β(M)log⁡log⁡M=1.\boxed{\lim_{M\to\infty}\frac{\log I_{-1,\beta}(M)}{\log\log M}=1}.

問2​

(i) 定義式の勾配を法線にとり、P∈EP\in E を用いると

pxa2+qyb2+rzc2=1.\boxed{\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}+\frac{rz}{c^2}=1}.

(ii) この接平面が Q(l,m,n)Q(l,m,n) を通る条件は lp/a2+mq/b2+nr/c2=1lp/a^2+mq/b^2+nr/c^2=1 である。従って接点の集合を含む平面は

S:lxa2+myb2+nzc2=1.\boxed{S:\frac{lx}{a^2}+\frac{my}{b^2}+\frac{nz}{c^2}=1}.

(iii) X=x/a,Y=y/b,Z=z/cX=x/a,Y=y/b,Z=z/c によって EE は単位球面となる。QQ の像を q=(l/a,m/b,n/c)q=(l/a,m/b,n/c) とすれば、切断平面は q⋅(X,Y,Z)=1q\cdot(X,Y,Z)=1、∥q∥2=3\|q\|^2=3。切断円の中心は q/3q/3 であり、逆の線形変換は中心を保つので

T=(l/3,m/3,n/3).\boxed{T=(l/3,m/3,n/3)}.

(iv) u=l/a,v=m/b,w=n/cu=l/a,v=m/b,w=n/c とおくと u2+v2+w2=3u^2+v^2+w^2=3。相加相乗平均より ∣uvw∣≤1|uvw|\le1 だから J=abc uvw/27≤abc/27J=abc\,uvw/27\le abc/27。等号は ∣u∣=∣v∣=∣w∣=1|u|=|v|=|w|=1 かつ uvw>0uvw>0 のときである。従って

Jmax⁡=abc27,Q=(a,b,c),(a,−b,−c),(−a,b,−c),(−a,−b,c).\boxed{J_{\max}=\frac{abc}{27},\qquad Q=(a,b,c),(a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c)}.
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