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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2021年7月実施 数学【I】

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Author​

AKIRA, 祭音Myyura

Description​

大学公表の原題

問1​

次の漸化式を満たす実数の数列 {xn} (n=0,1,2,...)\{x_n\} \ (n = 0, 1, 2, ...) について、以下の設問に答え よ.なお, a (≠0)a\ (\neq0) は実数である。

xn+3=2axn+2+a2xn+1−2a3xnx_{n+3} = 2ax_{n+2} + a^2x_{n+1}-2a^3x_n

(i) この数列について、次式が成り立つ行列 AA を求めよ。

[xn+1xn+2xn+3]=A[xnxn+1xn+2]\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} x_{n} \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{bmatrix}

(ii) 行列 AA の固有値と固有ペクトルをすべて求めよ。

(iii) 任意の x0,x1,x2x_0, x_1, x_2 に対して数列 {xn}\{x_n\} が収束するとき、実数 aa が満たすべき必要十分条件を求めよ。

(iv) a=12a = \frac{1}{2} のとき、次式で与えられる A∞A^{\infty} を求めよ。

A∞=lim⁡n→∞AnA^{\infty} = \lim_{n \to \infty} A^n

問2​

R\mathbb{R} は実数全体からなる集合, ee はネイピア数(自然対数の底)とする. x∈Rx \in \mathbb{R} についての高々2次の実係数多項式の集合 VV は R\mathbb{R} 上のベクトル空間とみなせる。 x∈Rx \in \mathbb{R} についての二つの連続関数 f(x),g(x)f(x), g(x) に対する内積を

⟨f,g⟩=∫01f(x)g(x) dx\langle f,g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\ dx

で定めると、VV は上記の内積について内積空間となる。以下の設問に答えよ。

(i) 任意の f(x)∈Vf(x) \in V と g(x)∈Vg(x) \in V について、コーシー・シュワルツの不等式

⟨f,g⟩2≤⟨f,f⟩⟨g,g⟩\langle f,g \rangle^2 \leq \langle f,f \rangle \langle g,g \rangle

が成り立つことを示せ。

(ii) VV の基底 {1,3x,5x2}\{1, \sqrt{3}x, \sqrt{5}x^2\} が正規直交基底をなすか否かを、理由とともに示せ。

(iii) Vの基底 {1,x,x2}\{1, x,x^2\} は正規直交基底をなさない、グラム・シュミットの直交化法により、正規直交基底を構成せよ。

(iv) ex (x∈R)e^x \ (x \in \mathbb{R}) を多項式 h(x)∈Vh(x) \in V を用いて、

∫01(ex−h(x))2dx\int_0^1 (e^x - h(x))^2 dx

が最小となるように近似したい。(iii) で求めた正規直交基底を用いて、h(x)h(x) を求めよ。

题目描述​

  1. 实数序列 {xn}\{x_n\}（n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots）满足

    xn+3=2axn+2+a2xn+1−2a3xn,x_{n+3}=2ax_{n+2}+a^2x_{n+1}-2a^3x_n,

    其中 a≠0a\ne0 为实数。

    （i）求使下式成立的矩阵 AA：

    [xn+1xn+2xn+3]=A[xnxn+1xn+2].\begin{bmatrix} x_{n+1}\\x_{n+2}\\x_{n+3} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_n\\x_{n+1}\\x_{n+2} \end{bmatrix}.

    （ii）求矩阵 AA 的全部特征值和特征向量。

    （iii）求实数 aa 的充要条件，使序列 {xn}\{x_n\} 对任意初值 x0,x1,x2x_0,x_1,x_2 都收敛。

    （iv）当 a=12a=\frac12 时，求

    A∞=lim⁡n→∞An.A^\infty=\lim_{n\to\infty}A^n.

  2. 令 R\mathbb R 为实数集，ee 为自然对数的底。所有关于变量 x∈Rx\in\mathbb R 的次数不超过 2 的实系数多项式组成实向量空间 VV。对两个连续函数 f(x),g(x)f(x),g(x) 定义内积

    ⟨f,g⟩=∫01f(x)g(x) dx,\langle f,g\rangle=\int_0^1f(x)g(x)\,dx,

    从而 VV 成为该内积下的内积空间。

    （i）证明对任意 f,g∈Vf,g\in V，Cauchy–Schwarz 不等式

    ⟨f,g⟩2≤⟨f,f⟩⟨g,g⟩\langle f,g\rangle^2 \leq\langle f,f\rangle\langle g,g\rangle

    成立。

    （ii）判断 VV 的基

    {1,3x,5x2}\{1,\sqrt3x,\sqrt5x^2\}

    是否为标准正交基，并说明理由。

    （iii）基 {1,x,x2}\{1,x,x^2\} 不是标准正交基。使用 Gram–Schmidt 正交化构造 VV 的一组标准正交基。

    （iv）希望用 h(x)∈Vh(x)\in V 近似 exe^x，使

    ∫01(ex−h(x))2 dx\int_0^1(e^x-h(x))^2\,dx

    最小。使用第（iii）问所得标准正交基求 h(x)h(x)。

Kai​

問1​

(i)​

A=[010001−2a3a22a]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2a^3 & a^2 &2a \end{bmatrix}

(ii)​

∣A−λI∣=(a−λ)(a+λ)(λ−2a)|A - \lambda I| = (a - \lambda)(a + \lambda)(\lambda - 2a)
λ1=a,p1=[1aa2]\lambda_1 = a, p_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{bmatrix}
λ2=−a,p2=[1−aa2]\lambda_2 = -a, p_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -a \\ a^2 \end{bmatrix}
λ3=2a,p3=[12a4a2]\lambda_3 = 2a, p_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2a \\ 4a^2 \end{bmatrix}

(iii)​

P=[111a−a2aa2a24a2], A=P[a000−a0002a]P−1, An=P[an000(−a)n000(2a)n]P−1P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & -a & 2a \\ a^2 & a^2 & 4a^2 \end{bmatrix}, \ A = P\begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & -a & 0 \\ 0 & 0 & 2a \end{bmatrix} P^{-1}, \ A^n = P\begin{bmatrix} a^n & 0 & 0 \\ 0 & (-a)^n & 0 \\ 0 & 0 & (2a)^n \end{bmatrix} P^{-1}

(i) より、A=[010001−2a3a22a]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2a^3 & a^2 &2a \end{bmatrix} が成り立つから、任意の x0,x1,x2x_0, x_1, x_2 に対して数列 {xn}\{x_n\} が収束するとき、実数 aa が満たすべき必要十分条件は

{∣a∣≤1∣2a∣≤1a≠±12a≠−1\begin{cases} |a| \leq 1 \\ |2a| \leq 1 \\ a \neq \pm 1 \\ 2a \neq -1 \end{cases}

問題の仮定 a≠0a\ne0 も含めると、必要十分条件は

−12<a<0or0<a≤12\boxed{-\frac12<a<0\quad\text{or}\quad0<a\le\frac12}

である。

(iv)​

a=12a = \frac{1}{2} のとき、

A∞=P[000000001]P−1, P−1=[112a−12a213−12a16a2−13013a2]A^{\infty} = P \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} P^{-1},\ P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2a} & -\frac{1}{2a^2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2a} & \frac{1}{6a^2} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3a^2} \end{bmatrix}

従って、

A∞=[001002a004a2][112a−12a213−12a16a2−13013a2]=[−13013a2−2a3023a−4a23043]=[−13043−13043−13043]\begin{aligned} A^{\infty} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2a \\ 0 & 0 & 4a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2a} & -\frac{1}{2a^2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2a} & \frac{1}{6a^2} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3a^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3a^2} \\ -\frac{2a}{3} & 0 & \frac{2}{3a} \\ -\frac{4a^2}{3} & 0 & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & \frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{4}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

問2​

(i) g=0g=0 のときは明らか。g≠0g\ne0 のとき、t=⟨f,g⟩/⟨g,g⟩t=\langle f,g\rangle/\langle g,g\rangle とおくと

0≤∫01(f−tg)2dx=⟨f,f⟩−⟨f,g⟩2⟨g,g⟩.0\leq\int_0^1(f-tg)^2dx=\langle f,f\rangle-\frac{\langle f,g\rangle^2}{\langle g,g\rangle}.

これに ⟨g,g⟩>0\langle g,g\rangle>0 を掛ければコーシー・シュワルツの不等式を得る。

(ii) ⟨1,3x⟩=3/2≠0\langle1,\sqrt3x\rangle=\sqrt3/2\ne0 なので、正規直交基底ではない。

(iii) グラム・シュミット法で得られる直交多項式は 1,x−1/2,x2−x+1/61,x-1/2,x^2-x+1/6。それぞれのノルムの二乗は 1,1/12,1/1801,1/12,1/180 なので

e1=1,e2=23(x−1/2),e3=65(x2−x+1/6)e_1=1,\qquad e_2=2\sqrt3(x-1/2),\qquad e_3=6\sqrt5(x^2-x+1/6)

が正規直交基底となる。

(iv) 直交射影 h=∑i⟨ex,ei⟩eih=\sum_i\langle e^x,e_i\rangle e_i が最小値を与える。部分積分により係数は

⟨ex,e1⟩=e−1,⟨ex,e2⟩=3(3−e),⟨ex,e3⟩=5(7e−19).\langle e^x,e_1\rangle=e-1,\quad\langle e^x,e_2\rangle=\sqrt3(3-e),\quad\langle e^x,e_3\rangle=\sqrt5(7e-19).

従って

h(x)=(e−1)+(18−6e)(x−1/2)+(210e−570)(x2−x+1/6).h(x)=(e-1)+(18-6e)(x-1/2)+(210e-570)(x^2-x+1/6).

任意の q∈Vq\in V に対し ∥ex−q∥2=∥ex−h∥2+∥h−q∥2\|e^x-q\|^2=\|e^x-h\|^2+\|h-q\|^2 なので、これが一意な最適近似である。

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