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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 微積分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

数列 {xn:n=1,2,...}\{x_n : n = 1, 2, ...\} を次のように定義する。

x1=1,xn=sin⁡xn−1,n=2,3,...x_1 = 1, \quad x_n = \sin x_{n-1}, \quad n = 2, 3, ...

また、2つの実数値関数 ff と gg が, lim⁡x→0f(x)/g(x)=0\lim_{x \to 0} f(x)/g(x) = 0 を満たすとき、ランダウの記法によって、 f(x)=o(g(x))f(x) = o(g(x)) と表記する.ただし, f(x)=o(1)f(x) = o(1) は, lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 を意味するものとする。以下の設問に答えよ。

(i) 次の不等式が成り立つことを(帰納法などにより)示せ。

0<xn+1<xn,n=1,2,...0 < x_{n+1} < x_n, \quad n = 1, 2, ...

(ii) lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n の値を求めよ。

(iii) sin⁡x\sin x のマクローリン展開を書け。ただし、 xx の5次以上の項は、ランダウの記法を利用してまとめて表記せよ。

(iv) 次式を満たす定数 aa と bb を求めよ。

1(sin⁡x)2=ax2+b+o(1)\frac{1}{(\sin x)^2} = \frac{a}{x^2} + b + o(1)

(v) 設問 (ii) と (iv) の結果を利用して, lim⁡n→∞(1xn+12−1xn2)\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2}\right) の値を導け。

(vi) 設問 (v) の結果を利用して、次式が成り立つことを示せ。

lim⁡n→∞nxn2=3\lim_{n \to \infty} nx_n^2 = 3

题目描述​

定义数列 {xn:n=1,2,…}\{x_n:n=1,2,\ldots\}：

x1=1,xn=sin⁡xn−1(n=2,3,…).x_1=1, \qquad x_n=\sin x_{n-1} \quad(n=2,3,\ldots).

对两个实值函数 f,gf,g，若

lim⁡x→0f(x)g(x)=0,\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,

则用 Landau 记号写作 f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x))；特别地， f(x)=o(1)f(x)=o(1) 表示 lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\to0}f(x)=0。回答：

  1. 证明（可使用归纳法）
0<xn+1<xn,n=1,2,….0<x_{n+1}<x_n, \qquad n=1,2,\ldots.
  1. 求
lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}x_n.
  1. 写出 sin⁡x\sin x 的 Maclaurin 展开，并用上述 Landau 记号统一表示五次及更高次的项。
  2. 求常数 a,ba,b，使
1(sin⁡x)2=ax2+b+o(1)(x→0).\frac{1}{(\sin x)^2} = \frac{a}{x^2}+b+o(1) \qquad(x\to0).
  1. 利用第 2、4 问的结果求
lim⁡n→∞(1xn+12−1xn2).\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{x_{n+1}^2} -\frac{1}{x_n^2} \right).
  1. 利用第 5 问证明
lim⁡n→∞nxn2=3.\lim_{n\to\infty}nx_n^2=3.

Kai​

(i) 帰納法による証明: n=1n = 1 のとき, x1=1x_1 = 1 であり, x2=sin⁡x1=sin⁡1x_2 = \sin x_1 = \sin 1 . 0<sin⁡1<10 < \sin 1 < 1 なので, 0<x2<x10 < x_2 < x_1 が成り立つ。

n=kn = k のとき, 0<xk+1<xk0 < x_{k+1} < x_k が成り立つと仮定する。 xk+2=sin⁡xk+1x_{k+2} = \sin x_{k+1} である。 0<xk+1<xk0 < x_{k+1} < x_k より, 0<sin⁡xk+1<xk+10 < \sin x_{k+1} < x_{k+1} が成り立つ。 したがって, 0<xk+2<xk+10 < x_{k+2} < x_{k+1} が成り立つ。 よって, すべての nn に対して, 0<xn+1<xn0 < x_{n+1} < x_n が成り立つ。

(ii) 0<xn+1<xn0 < x_{n+1} < x_n より, {xn}\{x_n\} は単調減少数列であり, 下に有界であるから, 極限が存在する。 lim⁡n→∞xn=L\lim_{n \to \infty} x_n = L とすると, lim⁡n→∞xn+1=lim⁡n→∞sin⁡xn\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sin x_n より, L=sin⁡LL = \sin L となる。 この方程式の解は L=0L = 0 である。 したがって, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0 である。

(iii) sin⁡x\sin x のマクローリン展開は次の通りである。

sin⁡x=x−x33!+o(x4)=x−x36+o(x4).\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4) =x-\frac{x^3}{6}+o(x^4).

(iv)

sin⁡x=x(1−x26+o(x3))\sin x =x\left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)
1(sin⁡x)2=1x2(1−x26+o(x3))−2=1x2(1+x23+o(x2))=1x2+13+o(1).\frac{1}{(\sin x)^2} =\frac{1}{x^2} \left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^3)\right)^{-2} =\frac{1}{x^2} \left(1+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right) =\frac{1}{x^2}+\frac{1}{3}+o(1).

したがって, a=1a = 1 , b=13b = \frac{1}{3} である。

(v) xn+1=sin⁡xn=xn−xn36+o(xn4)x_{n+1} = \sin x_n = x_n - \frac{x_n^3}{6} + o(x_n^4) である。

1xn+12=1sin⁡2xn=1xn2+13+o(1)\frac{1}{x_{n+1}^2} = \frac{1}{\sin^2 x_n} = \frac{1}{x_n^2} + \frac{1}{3} + o(1)
lim⁡n→∞(1xn+12−1xn2)=lim⁡n→∞(1sin⁡2xn−1xn2)=13\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{\sin^2 x_n} - \frac{1}{x_n^2}\right) = \frac{1}{3}

(vi)

1xn+12−1xn2=13+o(1)\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{3} + o(1)
∑k=1n−1(1xk+12−1xk2)=∑k=1n−1(13+o(1))\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{x_{k+1}^2} - \frac{1}{x_k^2}\right) = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{3} + o(1)\right)
1xn2−1x12=n−13+o(n)\frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_1^2} = \frac{n-1}{3} + o(n)
1xn2=n3+o(n)\frac{1}{x_n^2} = \frac{n}{3} + o(n)
nxn2=nn3+o(n)=113+o(1)nx_n^2 = \frac{n}{\frac{n}{3} + o(n)} = \frac{1}{\frac{1}{3} + o(1)}
lim⁡n→∞nxn2=3\lim_{n \to \infty} nx_n^2 = 3
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