京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 線形代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

正方行列 $A_n$ を以下のように定義する。

$$A_1 = [a_0], \quad A_2 = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{bmatrix}, \quad \dots, \quad A_{n+1} = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\ a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_0 \end{bmatrix}$$

いま, すべての $n$ について $A_n$ を正定値対称行列とするとき, $n \geq 2$ について,

$$\det A_{n+1} \leq \frac{(\det A_n)^2}{\det A_{n-1}}$$

となることを示せ。

题目描述

定义实对称 Toeplitz 方阵序列

$$A_1=[a_0], \qquad A_2= \begin{bmatrix} a_0&a_1\\ a_1&a_0 \end{bmatrix},$$

以及一般的

$$A_{n+1} = \begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1&a_0&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ a_2&a_1&a_0&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots&a_0 \end{bmatrix}.$$

假设对每个 $n$，$A_n$ 都是正定对称矩阵。证明对所有 $n\geq2$，

$$\det A_{n+1} \leq \frac{(\det A_n)^2}{\det A_{n-1}}.$$

Kai

解答

设 $D_n = \det A_n$ 。根据题意， $A_n$ 对所有 $n$ 都是正定矩阵，因此其所有主子式都为正。特别地，行列式 $D_n = \det A_n > 0$ 对所有 $n$ 成立。

需要证明的不等式为：

$$D_{n+1} \leq \frac{D_n^2}{D_{n-1}}$$

因为 $D_{n-1} > 0$ ，该不等式等价于：

$$D_{n+1} D_{n-1} \leq D_n^2$$

我们将使用 Desnanot-Jacobi 恒等式（也称为 Sylvester 行列式恒等式或 Dodgson 凝聚法）。对于任意一个 $m \times m$ 矩阵 $M$ ，该恒等式为：

$$\det(M) \det(M_{1,m}^{1,m}) = \det(M_1^1) \det(M_m^m) - \det(M_1^m) \det(M_m^1)$$

其中， $M_i^j$ 表示从 $M$ 中移除第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的子矩阵， $M_{i,j}^{k,l}$ 表示移除第 $i,j$ 行和第 $k,l$ 列得到的子矩阵。

我们将此恒等式应用于 $(n+1) \times (n+1)$ 矩阵 $M = A_{n+1}$ 。此时 $m=n+1$ 。

$$\det(A_{n+1}) \det((A_{n+1})_{1,n+1}^{1,n+1}) = \det((A_{n+1})_1^1) \det((A_{n+1})_{n+1}^{n+1}) - \det((A_{n+1})_1^{n+1}) \det((A_{n+1})_{n+1}^1)$$

接下来，我们根据 $A_{n+1}$ 的结构来确定上式中各项的行列式：

1. $A_{n+1}$ 本身： $\det(A_{n+1}) = D_{n+1}$ 。

2. $(A_{n+1})_1^1$ 是移除第一行和第一列得到的子矩阵。根据 $A_{n+1}$ 的定义，这是一个 $n \times n$ 的主子矩阵，其结构与 $A_n$ 完全相同。

$$(A_{n+1})_1^1 = A_n \implies \det((A_{n+1})_1^1) = D_n$$

3. $(A_{n+1})_{n+1}^{n+1}$ 是移除最后一行和最后一列得到的子矩阵。同样，这也是 $A_n$ 。

$$(A_{n+1})_{n+1}^{n+1} = A_n \implies \det((A_{n+1})_{n+1}^{n+1}) = D_n$$

4. $(A_{n+1})_{1,n+1}^{1,n+1}$ 是移除第一行、最后一行、第一列和最后一列得到的子矩阵。这是一个 $(n-1) \times (n-1)$ 的中心子矩阵，其结构与 $A_{n-1}$ 相同（此步骤要求 $n \geq 2$ ）。

$$(A_{n+1})_{1,n+1}^{1,n+1} = A_{n-1} \implies \det((A_{n+1})_{1,n+1}^{1,n+1}) = D_{n-1}$$

5. $(A_{n+1})_{n+1}^1$ 和 $(A_{n+1})_1^{n+1}$ 是非主子矩阵。由于 $A_{n+1}$ 是一个对称矩阵，其元素满足 $(A_{n+1})_{ij} = (A_{n+1})_{ji}$ 。我们来比较这两个子矩阵。 令 $B = (A_{n+1})_1^{n+1}$ 和 $C = (A_{n+1})_{n+1}^1$ 。 $C$ 的 $(i,j)$ 元素为 $(A_{n+1})_{i, j+1}$ 。 $B$ 的 $(j,i)$ 元素为 $(A_{n+1})_{j+1, i}$ 。 因为 $A_{n+1}$ 是对称的， $(A_{n+1})_{i, j+1} = (A_{n+1})_{j+1, i}$ 。所以 $C_{ij} = B_{ji}$ 。 这意味着 $C = B^T$ 。因此，它们的行列式相等：

$$\det((A_{n+1})_{n+1}^1) = \det(((A_{n+1})_1^{n+1})^T) = \det((A_{n+1})_1^{n+1})$$

将以上结果代入 Desnanot-Jacobi 恒等式：

$$D_{n+1} \cdot D_{n-1} = D_n \cdot D_n - \det((A_{n+1})_1^{n+1}) \cdot \det((A_{n+1})_{n+1}^1)$$

$$D_{n+1} D_{n-1} = D_n^2 - (\det((A_{n+1})_1^{n+1}))^2$$

令 $C_n = \det((A_{n+1})_1^{n+1})$ 。由于 $A_{n+1}$ 的元素是实数， $C_n$ 是一个实数，所以 $C_n^2 \geq 0$ 。 因此，我们得到：

$$D_{n+1} D_{n-1} = D_n^2 - C_n^2 \leq D_n^2$$

我们已经证明了 $D_{n+1} D_{n-1} \leq D_n^2$ 。因为 $A_{n-1}$ 是正定矩阵，所以 $D_{n-1} = \det A_{n-1} > 0$ 。两边同时除以 $D_{n-1}$ ，不等号方向不变：

$$D_{n+1} \leq \frac{D_n^2}{D_{n-1}}$$

证明完毕。