京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 線形代数

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• Matrix-Diagonalization
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への線形写像 $f$ の表現行列が $A$ であるとして, 以下の設問に答えよ。 ただし, $a$ は実数とする。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}$$

(i) 行列 $A$ の階数(ランク)が最小になる $a$ の値を求めよ。また, このときの行列 $A$ の階数を求めよ。

(ii) 行列 $A$ の階数が最小になるとき, 線形写像 $f$ の核(カーネル)を求めよ。また, このとき, $f$ の像の正規直交基底を求めよ。

(iii) 行列 $A$ が対角化できなくなる $a$ の値を求めよ。

(iv) $a=3$ のとき, 行列 $A$ は行列 $B$ と相似であることを示せ。

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

题目描述

设从 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的线性映射 $f$ 在标准基下的表示矩阵为

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&a \end{pmatrix},$$

其中 $a$ 为实数。回答：

1. 求使 $\operatorname{rank}A$ 最小的 $a$，并求此时的最小秩。
2. 在 $A$ 的秩最小时，求线性映射 $f$ 的核，并求 $\operatorname{im}f$ 的一组标准正交基。
3. 求所有使 $A$ 在实数域上不可对角化的 $a$。
4. 当 $a=3$ 时，证明 $A$ 与矩阵

$$B= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$$

相似。

Kai

(i) 解答 行列 $A$ の階数(ランク)は, $A$ の行列式 $\det(A)$ が 0 でないときは 3, 0 のときは 3 未満となります。 まず, $A$ の行列式を計算します。

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{vmatrix} = 1(1 \cdot a - 0 \cdot 0) - 2(0 \cdot a - 0 \cdot 1) + (-1)(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = a + 1$$

$\det(A) = 0$ となるのは $a+1=0$ , すなわち $a=-1$ のときです。このとき, 階数が最小になる可能性があります。

• $a \neq -1$ のとき, $\det(A) \neq 0$ なので, $\mathrm{rank}(A) = 3$ です。
• $a = -1$ のとき, $\det(A) = 0$ なので, $\mathrm{rank}(A) < 3$ です。 このときの行列 $A$ は,

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

左上の $2 \times 2$ 小行列式は $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ であるため, $\mathrm{rank}(A) \geq 2$ です。 したがって, $a=-1$ のとき, $\mathrm{rank}(A)=2$ となります。 これが最小の階数です。

答え: 階数が最小になる $a$ の値は $a=-1$ で, そのときの階数は 2 です。

(ii) 解答 $a=-1$ のとき, 行列 $A$ の階数は最小になります。

1. 線形写像 $f$ の核(カーネル) $\mathrm{Ker}(f)$

$\mathrm{Ker}(f)$ は, 方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の解空間です。

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これを連立方程式として解くと,

$$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ y = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$$

第2式より $y=0$ 。これを第1式に代入すると $x-z=0$ となり, 第3式と同じです。 $x=z$ となります。 $z=t$ ( $t$ は任意の実数)とおくと, $x=t, y=0, z=t$ となります。 よって, 解ベクトルは $\mathbf{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せます。 したがって, $\mathrm{Ker}(f)$ は以下のように表せます。

$$\mathrm{Ker}(f) = \left\{ c \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \right\}$$

2. 線形写像 $f$ の像 $\mathrm{Im}(f)$ の正規直交基底

$\mathrm{Im}(f)$ は $A$ の列ベクトルで張られる空間(列空間)です。 $\mathrm{rank}(A)=2$ なので, 基底は2つの線形独立な列ベクトルで構成されます。 $A$ の第1列と第2列は線形独立なので, 基底として $\left\{ \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$ を取ることができます。

この基底にグラム・シュミットの直交化法を適用して正規直交基底 $\left\{ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \right\}$ を求めます。

• $\mathbf{w}_1$ の計算:

$$\mathbf{w}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

• $\mathbf{w}_2$ の計算: まず, $\mathbf{u}_2$ から $\mathbf{w}_1$ 方向の成分を引きます。

$$\mathbf{u}_2' = \mathbf{u}_2 - (\mathbf{u}_2 \cdot \mathbf{w}_1)\mathbf{w}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{u}_2' = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

次に, $\mathbf{u}_2'$ を正規化します。

$$\mathbf{w}_2 = \frac{\mathbf{u}_2'}{\|\mathbf{u}_2'\|} = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

答え: $f$ の像の正規直交基底は $\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$ です。

(iii) 解答 ここでは $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ の対角化なので，実数体上で考える。 特性多項式は

$$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) [\lambda^2 - (a+1)\lambda + a+1]$$

である。二次因子に $\lambda=1$ を代入した値は $1$ なので， $1$ が二次因子の根と重なることはない。二次因子の判別式は

$$D = (a+1)^2 - 4(a+1) = (a+1)(a-3)$$

である。

• $a<-1$ または $a>3$ なら $D>0$ であり，相異なる3個の実固有値を もつので実対角化できる。
• $-1<a<3$ なら $D<0$ であり，非実共役な固有値をもつので 実数体上では対角化できない。
• $a=-1$ では固有値 $0$ の代数的多重度は2であるが，(i) より $\dim\ker A=1$ なので対角化できない。
• $a=3$ では固有値 $2$ の代数的多重度は2である。一方，

$$\operatorname{rank}(A-2I)=2,\qquad \dim\ker(A-2I)=1,$$

なので対角化できない。

したがって，実数体上で対角化できないための必要十分条件は

$$\boxed{-1\leq a\leq3}.$$

なお，複素数体上の対角化を意味する場合には， $-1<a<3$ の3固有値は 相異なるため対角化でき，対角化できない値は端点 $a=-1,3$ だけである。

(iv) 解答 $a=3$ のとき, 行列 $A$ が行列 $B$ と相似であることを示すには, $A$ のジョルダン標準形が $B$ と一致することを示せばよいです。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

(iii)の計算より, $a=3$ のときの $A$ の固有値とその多重度は以下の通りです。

• 固有値 $\lambda_1 = 1$ : 代数的多重度 1, 幾何学的多重度 1
• 固有値 $\lambda_2 = 2$ : 代数的多重度 2, 幾何学的多重度 1

ジョルダン標準形の構造は, これらの多重度によって決まります。

• $\lambda_1 = 1$ について: 幾何学的多重度が1なので, $1 \times 1$ のジョルダンブロックが1つです: $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$ 。
• $\lambda_2 = 2$ について: 幾何学的多重度が1なので, ジョルダンブロックは1つです。代数的多重度が2なので, ブロックのサイズは $2 \times 2$ になります: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 。

したがって, $A$ のジョルダン標準形 $J_A$ はこれらのブロックを対角に並べたものになります。

$$J_A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

これは行列 $B$ と一致します。行列はそのジョルダン標準形と相似であるため, $A$ は $J_A$ と相似であり, $J_A = B$ なので, $A$ は $B$ と相似です。 (証明終)