京都大学情報学研究科システム科学専攻 2020年8月実施数学【II】

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関数 $f : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ は連続関数であり、次式を満たすものとする。

f(2x^2 - 1) = 2x f(x)

さらに、

\mathbb{G} = \{ t \in \mathbb{R} : t \ne n\pi, \ n \in \mathbb{Z} \}

とし、関数 $g : \mathbb{G} \to \mathbb{R}$ を次のように定める。

g(t) = \frac{f(\cos t)}{\sin t}

このとき、以下の設問に答えよ。

(i) $f(-1)$ および $f(1)$ の値を求めよ。

(ii) $g$ が奇関数であることを示せ。

(iii) 任意の $t \in G$ に対して、 $g(t) = g(t/2)$ が成り立つことを示せ。

(iv) 次式が成り立つことを示せ。

g\left(1 + \frac{n\pi}{2^k}\right) = g(1), \quad n, k \in \mathbb{Z}

(v) 関数 $f$ を求めよ。なお、導出過程も示せ。

微分可能な関数 $f : (a,b) \to (0,\infty)$ と $g : (a,b) \to \mathbb{R}$ が以下のいずれかを満たすと仮定する。ただし、 $a < b$ とする。

このとき、次式が成り立つ。

\lim_{x \to a+0} (f(x))^{g(x)} = \exp \left(-\lim_{x \to a+0} \frac{f'(x)(g(x))^2}{f(x) g'(x)} \right) \tag{1}

(i) 次の値を求めよ。

(a) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\sqrt{x}}$
(b) $\lim_{x \to +0} \left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{1}{x} \right)^{1/x}$ （ $-\frac{\pi}{2} < \arctan y < \frac{\pi}{2}, \ \forall y \in \mathbb{R}$ とする）

(ii) 関数 $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は $2$ 回微分可能であり、正の実数 $p$ に対して次式を満たすと仮定する。

h''(x) + h(x) = 0, \quad \lim_{x \to +0} (h(x))^{1/x} = p, \quad \lim_{x \to +0} h(x) > 0

関数 $h$ を求めよ。

(iii) (A), (B), (C) のいずれかが満たされるとき、式 (1) が成り立つことを証明せよ。