京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 数学【I】

标签：

• Kyoto-University
• Projection-Operator
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Matrix-Rank
• Matrix-Determinant
• Matrix-Inverse
• Rayleigh-Quotient
• Quadratic-Form

Author

AKIRA, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ の転置を $A^{\mathrm{T}}$ で表す。 問1、問2 はそれぞれ別の解答用紙に解答すること。

問1

以下の設問に答えよ。

(i) 3次元実ベクトル空間を考える。 $[1, 1, 1]^{\mathrm{T}}$ を基底とする1次元部分空間 $V$ への正射影について、その射影行列と $[x, y, z]^{\mathrm{T}}$ の像を求めよ。 また、 $V$ の直交補空間の正規直交基底を1つ求めよ。

(ii) 行列 $A$ について、その階数と行列式の値を求めよ。 また、逆行列があれば逆行列を求めよ。

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

(iii) 次のブロック行列 $B$ の行列式の値 $\det B$ を求めよ。導出過程も示すこと。 ただし、 $X, Y, Z$ はそれぞれ $n \times n, n \times m, m \times m$ の行列であり、 $\det X \ne 0$ とする。 また、 $O$ は $m \times n$ の零行列である。必要であれば、2つの正方行列 $P, Q$ について、 $\det (PQ) = \det P \cdot \det Q$ であることを用いてよい。

$$B = \begin{bmatrix} X & Y \\ O & Z \end{bmatrix}$$

問2

以下の設問に答えよ。それぞれ、答えだけでなく、その理由についても示すこと。

(i)

$n \times n$ の実数値対称行列 $C$ の固有値を $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n$ 、対応する固有ベクトルを $e_1, e_2, \dots, e_n$ とする。 ただし、 $e_i \ (i=1, \dots, n)$ は互いに直交し、それぞれ長さ $1$ の $n$ 次元ベクトルである。 $n$ 次元ベクトル $x \ne 0$ に対して定義される

$$R(x) = \frac{x^{\mathrm{T}} C x}{x^{\mathrm{T}} x}$$

について考える。

(1) スカラー $a_i \ (i = 1, \dots, n)$ を用いて、 $x$ を

$$x = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n$$

としたとき、 $R(x)$ を $\lambda_i \ (i = 1, \dots, n)、a_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。

(2) $R(x)$ の最大値を $\lambda_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。 また、その最大値を与える $x \ne 0$ はいかなるものか、 $a_i\ (i = 1, \dots, n)$ などを用いて示せ。

(3) $R(x)$ の最小値を $\lambda_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。 また、その最小値を与える $x \ne 0$ はいかなるものか、 $a_i\ (i = 1, \dots, n)$ などを用いて示せ。

(ii)

3つの実数 $(x, y, z)$ が $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たすとき、

$$J = 4x^2 + y^2 + 4z^2 + 4xy + 4yz - 2zx$$

の最大値と最小値を求め、それぞれを与える $(x, y, z)$ をすべて示せ。

题目描述

以下用 $A^{\mathrm T}$ 表示矩阵 $A$ 的转置。第 1 题和第 2 题应分别写在不同答题纸上。

1. 回答下列各问。

   1. 在三维实向量空间中，令 $V$ 为由 $[1,1,1]^{\mathrm T}$ 张成的一维子空间。求到 $V$ 的正交投影矩阵，求 $[x,y,z]^{\mathrm T}$ 在该投影下的像，并给出 $V^\perp$ 的一组标准正交基。
   2. 对矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&0&2\\ 3&2&1 \end{bmatrix},$$

求 $\operatorname{rank}A$ 和 $\det A$；若 $A$ 可逆，再求 $A^{-1}$。 3. 对分块矩阵

$$B= \begin{bmatrix} X&Y\\ O&Z \end{bmatrix},$$

求 $\det B$ 并写出推导过程。这里 $X$、$Y$、$Z$ 的尺寸依次为 $n\times n$、$n\times m$、$m\times m$，且 $\det X\ne0$；$O$ 是 $m\times n$ 零矩阵。必要时可以使用任意同阶方阵 $P,Q$ 的性质

$$\det(PQ)=\det P\cdot\det Q.$$

2. 回答下列各问；除答案外，每一问都要说明理由。

   1. 设 $C$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵，其特征值按

$$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$$

排列。相应特征向量 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ 两两正交且长度均为 $1$。对任意非零 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$，定义 Rayleigh 商

$$R(\boldsymbol{x}) =\frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm T}C\boldsymbol{x}} {\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}}.$$

  1. 若

$$\boldsymbol{x} =a_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+a_n\boldsymbol{e}_n,$$

用 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 和 $a_1,\ldots,a_n$ 表示 $R(\boldsymbol{x})$。 2. 用特征值表示 $R(\boldsymbol{x})$ 的最大值，并用系数 $a_i$ 等完整刻画所有取得该最大值的非零 $\boldsymbol{x}$。 3. 用特征值表示 $R(\boldsymbol{x})$ 的最小值，并用系数 $a_i$ 等完整刻画所有取得该最小值的非零 $\boldsymbol{x}$。

2. 实数 $x,y,z$ 满足

$$x^2+y^2+z^2=1.$$

求

$$J=4x^2+y^2+4z^2+4xy+4yz-2zx$$

的最大值和最小值，并分别列出取得这两个极值的全部三元组 $(x,y,z)$。

Kai

問1

(i) $v=(1,1,1)^{\mathrm T}$ とおくと、射影行列と像は

$$P=\frac{vv^{\mathrm T}}{v^{\mathrm T}v}=\frac13\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix},\qquad P\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\frac{x+y+z}{3}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.$$

$V^\perp=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ の正規直交基底として

$$\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad \frac1{\sqrt6}\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmatrix}$$

をとれる。いずれも $v$ と直交し、長さ $1$ で、相互にも直交する。

(ii) $\det A=16\ne0$ より階数は $3$。掃き出し法により

$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-1/4&1/4&1/4\\1/4&-1/2&1/4\\1/4&1/4&-1/4\end{bmatrix}.$$

(iii) 次の分解を用いる。

$$B=\begin{bmatrix}X&0\\0&I_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n&X^{-1}Y\\0&Z\end{bmatrix}.$$

後者の最初の $n$ 列に沿って行列式を展開すると $\det Z$ となるため、$\boxed{\det B=\det X\det Z}$。

問2

(i-1) 固有ベクトルの正規直交性より

$$R(x)=\frac{\sum_{i=1}^n\lambda_i a_i^2}{\sum_{i=1}^n a_i^2}.$$

(i-2) これは固有値の重み付き平均なので最大値は $\lambda_1$。等号成立は $\lambda_i<\lambda_1$ に対応する $a_i$ がすべて $0$ のとき、すなわち

$$x\in\operatorname{span}\{e_i:\lambda_i=\lambda_1\}\setminus\{0\}$$

のときに限る。

(i-3) 同様に最小値は $\lambda_n$ であり、これを与えるのは

$$x\in\operatorname{span}\{e_i:\lambda_i=\lambda_n\}\setminus\{0\}$$

のすべてである。

(ii) $J$ の行列は

$$C=\begin{bmatrix}4&2&-1\\2&1&2\\-1&2&4\end{bmatrix},\qquad \det(\lambda I-C)=(\lambda-5)^2(\lambda+1).$$

固有値 $5$ の固有空間の正規直交基底は

$$u=\frac1{\sqrt2}(-1,0,1)^{\mathrm T},\qquad v=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^{\mathrm T},$$

固有値 $-1$ の単位固有ベクトルは $w=(1,-2,1)^{\mathrm T}/\sqrt6$ である。したがって

$$J_{\max}=5,\quad (x,y,z)^{\mathrm T}=c_1u+c_2v,\quad c_1^2+c_2^2=1,$$

$$J_{\min}=-1,\quad (x,y,z)=\pm\frac1{\sqrt6}(1,-2,1).$$