京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 数学【I】

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Author

AKIRA

Description

行列 $A$ の転置を $A^{\mathrm{T}}$ で表す。 問1、問2 はそれぞれ別の解答用紙に解答すること。

問1

以下の設問に答えよ。

(i) 3次元実ベクトル空間を考える。 $[1, 1, 1]^{\mathrm{T}}$ を基底とする1次元部分空間 $V$ への正射影について、その射影行列と $[x, y, z]^{\mathrm{T}}$ の像を求めよ。 また、$V$ の直交補空間の正規直交基底を1つ求めよ。

(ii) 行列 $A$ について、その階数と行列式の値を求めよ。 また、逆行列があれば逆行列を求めよ。

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

(iii) 次のブロック行列 $B$ の行列式の値 $\det B$ を求めよ。導出過程も示すこと。 ただし、$X, Y, Z$ はそれぞれ $n \times n, n \times m, m \times m$ の行列であり、$\det X \ne 0$ とする。 また、$O$ は $m \times n$ の零行列である。必要であれば、2つの正方行列 $P, Q$ について、 $\det (PQ) = \det P \cdot \det Q$ であることを用いてよい。

$$B = \begin{bmatrix} X & Y \\ O & Z \end{bmatrix}$$

問2

以下の設問に答えよ。それぞれ、答えだけでなく、その理由についても示すこと。

(i)

$n \times n$ の実数値対称行列 $C$ の固有値を $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n$、対応する固有ベクトルを $e_1, e_2, \dots, e_n$ とする。 ただし、$e_i \ (i=1, \dots, n)$ は互いに直交し、それぞれ長さ $1$ の $n$ 次元ベクトルである。 $n$ 次元ベクトル $x \ne 0$ に対して定義される

$$R(x) = \frac{x^{\mathrm{T}} C x}{x^{\mathrm{T}} x}$$

について考える。

(1) スカラー $a_i \ (i = 1, \dots, n)$ を用いて、$x$ を

$$x = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n$$

としたとき、$R(x)$ を $\lambda_i \ (i = 1, \dots, n)、a_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。

(2) $R(x)$ の最大値を $\lambda_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。 また、その最大値を与える $x \ne 0$ はいかなるものか、$a_i\ (i = 1, \dots, n)$ などを用いて示せ。

(3) $R(x)$ の最小値を $\lambda_i\ (i = 1, \dots, n)$ を用いて表せ。 また、その最小値を与える $x \ne 0$ はいかなるものか、$a_i\ (i = 1, \dots, n)$ などを用いて示せ。

(ii)

3つの実数 $(x, y, z)$ が $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たすとき、

$$J = 4x^2 + y^2 + 4z^2 + 4xy + 4yz - 2zx$$

の最大値と最小値を求め、それぞれを与える $(x, y, z)$ をすべて示せ。

Kai

問1

問2