京都大学情報学研究科システム科学専攻 2020年8月実施数学【I】

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行列の転置をで表す。問1、問2 はそれぞれ別の解答用紙に解答すること。

以下の設問に答えよ。

(i) 3次元実ベクトル空間を考える。を基底とする1次元部分空間への正射影について、その射影行列との像を求めよ。また、の直交補空間の正規直交基底を1つ求めよ。

(ii) 行列について、その階数と行列式の値を求めよ。また、逆行列があれば逆行列を求めよ。

(iii) 次のブロック行列の行列式の値を求めよ。導出過程も示すこと。ただし、はそれぞれの行列であり、とする。また、はの零行列である。必要であれば、2つの正方行列について、であることを用いてよい。

以下の設問に答えよ。それぞれ、答えだけでなく、その理由についても示すこと。

の実数値対称行列の固有値を、対応する固有ベクトルをとする。ただし、は互いに直交し、それぞれ長さの次元ベクトルである。次元ベクトルに対して定義される

について考える。

(1) スカラーを用いて、を

としたとき、を $、$ を用いて表せ。

(2) の最大値をを用いて表せ。また、その最大値を与えるはいかなるものか、などを用いて示せ。

(3) の最小値をを用いて表せ。また、その最小値を与えるはいかなるものか、などを用いて示せ。

3つの実数がを満たすとき、

の最大値と最小値を求め、それぞれを与えるをすべて示せ。