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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2020年8月実施 工業数学

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

ii は虚数単位、ee は自然対数の底、C\mathbb C は複素数全体、z‾\overline z は zz の共役複素数とする。

問題1​

f(z)=sin⁡(1/(z2+3z+1+3i))f(z)=\sin(1/(z^2+3z+1+3i)) について答えよ。

(1) z=x+iyz=x+iy (x,y∈Rx,y\in\mathbb R) とおく。ff の実部と虚部を x,yx,y の関数で表せ。

(2) ff がべき級数展開を持ち、その収束半径が 2\sqrt2 となる実軸上の点をすべて求めよ。

問題2​

図の積分路（頂点 −R,R,R+iπ,−R+iπ-R,R,R+i\pi,-R+i\pi を反時計回りに通る長方形）に沿った複素積分を用いて

∫−∞∞cos⁡xcosh⁡x dx\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{\cosh x}\,dx

を求めよ。 積分路

問題3​

領域 Ω⊂C\Omega\subset\mathbb C 上の複素関数 f(z)f(z) を z=x+iyz=x+iy によって x,yx,y の関数と見たとき、二階までの偏導関数が存在して連続であり、fxx+fyy=0f_{xx}+f_{yy}=0 を満たすなら調和関数と呼ぶ。

(1) f(z)=ezf(z)=e^z が C\mathbb C 上調和であることを示せ。

(2) Ω\Omega 上の正則関数が調和であることを示せ。

(3) f,f2f,f^2 がともに Ω\Omega 上調和で、fx,fyf_x,f_y がいずれも零にならないとする。ff または f‾\overline f のいずれかが Ω\Omega 上正則であることを示せ。

题目描述​

ii 为虚数单位，ee 为自然对数的底，C\mathbb C 为复数集，z‾\overline z 表示共轭。

问题 1：令 f(z)=sin⁡(1/(z2+3z+1+3i))f(z)=\sin(1/(z^2+3z+1+3i))。

（1）写 z=x+iyz=x+iy，用 x,yx,y 表示 ff 的实部和虚部。

（2）求实轴上全部满足 ff 在该点的幂级数展开收敛半径为 2\sqrt2 的中心点。

问题 2：利用上图逆时针矩形路径（顶点为 −R,R,R+iπ,−R+iπ-R,R,R+i\pi,-R+i\pi）上的复积分，求 ∫−∞∞cos⁡x/cosh⁡x dx\int_{-\infty}^\infty\cos x/\cosh x\,dx。

问题 3：若复函数 f(z)f(z)（z=x+iyz=x+iy）在区域 Ω\Omega 上有连续的二阶偏导数，且 fxx+fyy=0f_{xx}+f_{yy}=0，则称它为调和函数。

（1）证明 eze^z 在复平面上调和。（2）证明区域内的全纯函数是调和函数。（3）若 f,f2f,f^2 都调和，而且 fx,fyf_x,f_y 处处非零，证明 ff 或其共轭 f‾\overline f 至少有一个在整个 Ω\Omega 上全纯。

Kai​

問題1​

(1) A=x2−y2+3x+1,B=2xy+3y+3A=x^2-y^2+3x+1,B=2xy+3y+3、U=A/(A2+B2),V=B/(A2+B2)U=A/(A^2+B^2),V=B/(A^2+B^2) とおく。1/(A+iB)=U−iV1/(A+iB)=U-iV より

Re⁡f=sin⁡Ucosh⁡V,Im⁡f=−cos⁡Usinh⁡V.\boxed{\operatorname{Re}f=\sin U\cosh V,\qquad\operatorname{Im}f=-\cos U\sinh V}.

(2) 分母は (z+i)(z+3−i)(z+i)(z+3-i) であり、−i,−3+i-i,-3+i は孤立真性特異点である。実数 aa を中心とする収束半径は

R(a)=min⁡{a2+1,(a+3)2+1}.R(a)=\min\{\sqrt{a^2+1},\sqrt{(a+3)^2+1}\}.

R(a)=2R(a)=\sqrt2 を解くと a=−4,−2,−1,1\boxed{a=-4,-2,-1,1}。

問題2​

F(z)=eiz/cosh⁡zF(z)=e^{iz}/\cosh z とおく。内部の単純極 z=iπ/2z=i\pi/2 の留数は e−π/2/ie^{-\pi/2}/i。両側辺の積分は ∣cosh⁡(R+iy)∣≥sinh⁡R|\cosh(R+iy)|\ge\sinh R より零に収束する。上辺では F(x+iπ)=−e−πF(x)F(x+i\pi)=-e^{-\pi}F(x) で向きが逆だから

(1+e−π)∫−∞∞eixcosh⁡x dx=2πe−π/2.(1+e^{-\pi})\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{\cosh x}\,dx=2\pi e^{-\pi/2}.

実部をとって

∫−∞∞cos⁡xcosh⁡x dx=πcosh⁡(π/2).\boxed{\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{\cosh x}\,dx=\frac\pi{\cosh(\pi/2)}}.

問題3​

(1) (ex+iy)xx=ex+iy(e^{x+iy})_{xx}=e^{x+iy}、(ex+iy)yy=−ex+iy(e^{x+iy})_{yy}=-e^{x+iy} より和は零。

(2) 正則関数は滑らかであり、fx=f′(z),fy=if′(z)f_x=f'(z),f_y=if'(z)。従って fxx+fyy=f′′−f′′=0f_{xx}+f_{yy}=f''-f''=0。

(3) 積の微分則と調和性から

0=Δ(f2)=2(fx2+fy2)+2fΔf,(fx+ify)(fx−ify)=0.0=\Delta(f^2)=2(f_x^2+f_y^2)+2f\Delta f, \qquad(f_x+if_y)(f_x-if_y)=0.

fx≠0f_x\ne0 なので連続関数 fy/fxf_y/f_x は {i,−i}\{i,-i\} のみを値に取る。領域 Ω\Omega は連結だから、この比は一定である。fy=ifxf_y=if_x なら ff は Cauchy–Riemann 方程式を満たして正則。fy=−ifxf_y=-if_x なら f‾\overline f が同方程式を満たして正則である。

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