京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2019年8月実施 専門科目 確率統計

Author

Miyake

Description

日本語版

問題1

確率変数 の確率分布が以下の確率密度関数で与えられたとき、 の期待値と分散を求めなさい。 は実定数である。

問題2

確率密度 は確率密度関数

の指数分布にしたがう。ただし はパラメータである。以下の設問に答えなさい。

(1) パラメータ は未知とする。

(1-1) に基づく の最尤推定量 を求めよ。

(1-2) が の不偏推定量であることを示せ。

(1-3) ある定数 に対して、帰無仮説 、対立仮説 の仮設検定を有意水準 で行いたい。そのための定数 を定めておき、 のとき帰無仮説を棄却する。定数 を求めよ。

(1-4) ある関数 を用いた集合 を定義する。このとき となるように関数 を定めよ。ただし は事象 の確率を表し、 は定数である。

(2) 機械Mは 個の部品で構成されており、Mの運転開始から部品 が故障するまでの経過時間を確率変数 で表す 。 は独立に確率密度関数 の指数分布にしたがう。ただし とする。

(2-1) 個の部品のいずれか故障するとMは警告を発する。このとき、Mの運転開始からMが警告を発するまでの経過時間を確率変数 で表す、 の確率密度関数を求めよ。

(2-2) 個の部品が共に故障したらMは停止する。このとき、Mの運転開始からMの停止するまでの経過時間を確率変数 で表す。 の確率密度関数を求めよ。

(2-3) 上で定義した の同時確率密度関数を求めよ。

Kai

問題1

とおくと、 である。

期待値を , 分散を で表して、次のように計算する：

問題2

(1)

(1-1)

であるから、

(1-2)

期待値を を表すと、

であるから、 であり、 は の不偏推定量である。

(1-3)

と は次のように関係付けられる：

(1-4)

(2)

(2-1)

まず、確率を で表すと、

である。

の確率密度関数 を求めるために、次のように計算する：

(2-2)

の確率密度関数 を求めるために、次のように計算する：

(2-3)

の同時確率密度関数 を求めるために、次の2通りを考える。

(i) のとき、

(ii) のとき、