京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2019年8月実施 専門科目 確率統計

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Author

Miyake, AKIRA

Description

問題1

確率変数 $X$ の確率分布が以下の確率密度関数で与えられたとき、$X$ の期待値と分散を求めなさい。$\mu$ は実定数である。

$$f(x) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp \big(-\frac{1}{2} (\log x - \mu)^2\big), &x > 0 \\ &0, &x \le 0 \end{aligned} \right.$$

問題2

確率密度 $X$ は確率密度関数

$$f(x; \mu) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{\mu} \exp \big(-\frac{x}{\mu} \big), &x > 0 \\ &0, &x \le 0 \end{aligned} \right.$$

の指数分布にしたがう。ただし $\mu > 0$ はパラメータである。以下の設問に答えなさい。

(1) パラメータ $\mu$ は未知とする。

(1-1) $X$ に基づく $\mu$ の最尤推定量 $\hat{\mu}$ を求めよ。

(1-2) $\hat{\mu}$ が $\mu$ の不偏推定量であることを示せ。

(1-3) ある定数 $\mu_0 > 0$ に対して、帰無仮説 $H_0: \mu=\mu_0$、対立仮説 $H_1: \mu > \mu_0$ の仮設検定を有意水準 $\alpha (0 < \alpha < 1)$ で行いたい。そのための定数 $c>0$ を定めておき、 $X > c$ のとき帰無仮説を棄却する。定数 $c$ を求めよ。

(1-4) ある関数 $L: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ を用いた集合 $S(x) = \{z \mid z \ge L(x)\} \subsetneq \mathbb{R}$ を定義する。このとき $P(\mu \in S(X)) = 1 - \alpha$ となるように関数 $L(x)$ を定めよ。ただし $P(A)$ は事象 $A$ の確率を表し、$0 < \alpha < 1$ は定数である。

(2) 機械Mは $2$ 個の部品で構成されており、Mの運転開始から部品 $i$ が故障するまでの経過時間を確率変数 $X_i$ で表す $(i = 1,2)$。 $X_1, X_2$ は独立に確率密度関数 $f(x; \mu)$ の指数分布にしたがう。ただし $\mu=1$ とする。

(2-1) $2$ 個の部品のいずれか故障するとMは警告を発する。このとき、Mの運転開始からMが警告を発するまでの経過時間を確率変数 $U$ で表す、$U$ の確率密度関数を求めよ。

(2-2) $2$ 個の部品が共に故障したらMは停止する。このとき、Mの運転開始からMの停止するまでの経過時間を確率変数 $V$ で表す。$V$ の確率密度関数を求めよ。

(2-3) 上で定義した $U, V$ の同時確率密度関数を求めよ。

Kai

問題1

$y = \log x$ とおくと、 $x = \exp(y), dx = \exp(y) dy$ である。

期待値を $E$ , 分散を $V$ で表して、次のように計算する：

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right] dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right] \exp(y) dy \\ &= \frac{\exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right) }{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 1) \right\}^2 \right] dy \\ &= \exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right) \\ E \left( X^2 \right) &= \int_0^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^\infty x \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right] dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right] \exp(2y) dy \\ &= \frac{\exp \left( 2 \mu + 2 \right) }{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 2) \right\}^2 \right] dy \\ &= \exp \left( 2 \mu + 2 \right) \\ V(X) &= E \left( X^2 \right) - E(X)^2 \\ &= \exp \left( 2 \mu + 2 \right) - \exp \left( 2 \mu + 1 \right) \\ &= \exp \left( 2 \mu + 1 \right) (e-1) \end{aligned}$$

問題2

(1)

(1-1)

$$\begin{aligned} \frac{d}{d \mu} \log f(x;\mu) &= \frac{d}{d \mu} \log \left[ \frac{1}{\mu} \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right] \\ &= \frac{d}{d \mu} \left( - \log \mu - \frac{x}{\mu} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu} + \frac{x}{\mu^2} \\ &= \frac{\mu - x}{\mu^2} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \hat{\mu} = X \end{aligned}$$

(1-2)

期待値を $E$ を表すと、

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^\infty x f(x; \mu) dx \\ &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx \\ &= - \left[ x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty + \int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx \\ &= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= \mu \end{aligned}$$

であるから、 $E(\hat{\mu}) = \mu$ であり、 $\hat{\mu}$ は $\mu$ の不偏推定量である。

(1-3)

$\alpha$ と $c$ は次のように関係付けられる：

$$\begin{aligned} \alpha &= \int_c^\infty f(x; \mu_0) dx \\ &= \frac{1}{\mu_0} \int_c^\infty \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) dx \\ &= - \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) \right]_c^\infty \\ &= \exp \left( - \frac{c}{\mu_0} \right) \\ \therefore \ \ c &= - \mu_0 \log \alpha \end{aligned}$$

(1-4)

(1-3) より

$$\begin{aligned} P(X \leq c \mid \mu) = 1 - \alpha &\Rightarrow c = -\mu \log \alpha \\ &\Rightarrow P(X \mid X \leq -\mu \log \alpha) = 1 - \alpha \\ &\Rightarrow P(\mu \mid \mu \geq \frac{-X}{\log \alpha}) = 1 - \alpha \\ &\Rightarrow L(X) = \frac{-X}{\log \alpha} \end{aligned}$$

(2)

(2-1)

まず、確率を $P$ で表すと、

$$\begin{aligned} P (a \leq X_i \leq b) &= \int_a^b f(x; 1) dx \\ &= \int_a^b \exp (-x) dx \\ &= - \left[ \exp (-x) \right]_a^b \\ &= \exp (-a) - \exp (-b) \end{aligned}$$

である。

$U$ の確率密度関数 $f_U(u)$ を求めるために、次のように計算する：

$$\begin{aligned} P (U \leq u) &= P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u \lt X_2) + P(X_2 \leq u \lt X_1) \\ &= P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u) \\ &= 1 - \exp (-2u) \\ \therefore \ \ f_U(u) &= \frac{d}{du} P (U \leq u) \\ &= \frac{d}{du} \left( 1 - \exp (-2u) \right) \\ &= 2 \exp (-2u) \end{aligned}$$

(2-2)

$V$ の確率密度関数 $f_V(v)$ を求めるために、次のように計算する：

$$\begin{aligned} P (V \leq v) &= P(X_1 \leq v \text{ and } X_2 \leq v) \\ &= P(X_1 \leq v) P(X_2 \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ \therefore \ \ f_V(v) &= \frac{d}{dv} P (V \leq v) \\ &= \frac{d}{dv} \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ &= 2 \exp (-v) \left( 1 - \exp (-v) \right) \end{aligned}$$

(2-3)

$U,V$ の同時確率密度関数 $f(u,v)$ を求めるために、次の2通りを考える。

(i) $v \lt u$ のとき、

$$\begin{aligned} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) &= P (V \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ \therefore \ \ f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial v} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) \\ &= 0 . \end{aligned}$$

(ii) $u \leq v$ のとき、

$$\begin{aligned} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) &= P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u \lt X_1 \leq v) \\ &= P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1 \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 + \exp (-u) - 2 \exp (-v) \right) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial v} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) \\ &= 2 \exp(-(u+v)) . \end{aligned}$$