京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2019年8月実施 数学 II

标签：

• Kyoto-University
• Change-of-Variables-and-Jacobian
• Triple-Integral
• Improper-Integral
• Taylor-Series
• Asymptotics-of-Nonlinear-Sequence-Recurrence

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

日本語版

問1

$xyz$ -空間上の有界な閉集合

$$D = \left\{ (x, y, z) : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq z, x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq 1 \right\}$$

について考える. ただし, $a, b$ は正の定数であるとする. 以下の設問に答えよ.

(i) 次のように変数 $(r, \theta, s)$ を変数 $(x, y, z)$ に移す写像のヤコビ行列式を求めよ.

$$x = ar \cos\theta, \quad y = br \sin\theta, \quad z = s$$

ただし, $r \geq 0, 0 \leq \theta \leq \pi/2$ であるとする.

(ii) 設問 (i) の写像によって $xyz$ -空間上の集合 $D$ に移される $r\theta s$ -空間上の集合は

$$E = \{ (r, \theta, s) : 0 \leq r \leq \boxed{\quad}, 0 \leq \theta \leq \pi/2, 0 \leq s \leq 1 \}$$

と表される. このとき, 空欄 $\boxed{\quad}$ に入る式を書け.

(iii) $\displaystyle\iiint_D dxdydz$ を求めよ.

(iv) 以下の積分が有限となるような正の整数 $l, m, n$ の組のうち, $l+m \leq n$ を満たすものを全て求めよ.

$$\iiint_D \frac{x^l y^m}{z^n} dxdydz$$

問2

数列 $\{x_n : n = 1, 2, ...\}$ を次のように定義する。

$$x_1 = 1, \quad x_n = \sin x_{n-1}, \quad n = 2, 3, ...$$

また、2つの実数値関数 $f$ と $g$ が, $\lim_{x \to 0} f(x)/g(x) = 0$ を満たすとき、ランダウの記法によって、 $f(x) = o(g(x))$ と表記する.ただし, $f(x) = o(1)$ は, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ を意味するものとする。以下の設問に答えよ。

(i) 次の不等式が成り立つことを(帰納法などにより)示せ。

$$0 < x_{n+1} < x_n, \quad n = 1, 2, ...$$

(ii) $\lim_{n \to \infty} x_n$ の値を求めよ。

(iii) $\sin x$ のマクローリン展開を書け。ただし、 $x$ の5次以上の項は、ランダウの記法を利用してまとめて表記せよ。

(iv) 次式を満たす定数 $a$ と $b$ を求めよ。

$$\frac{1}{(\sin x)^2} = \frac{a}{x^2} + b + o(1)$$

(v) 設問 (ii) と (iv) の結果を利用して, $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2}\right)$ の値を導け。

(vi) 設問 (v) の結果を利用して、次式が成り立つことを示せ。

$$\lim_{n \to \infty} nx_n^2 = 3$$

题目描述

問1

设 $a,b$ 为正常数，考虑 $xyz$ 空间中的有界闭集

$$D= \left\{ (x,y,z) \ \middle|\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq z,\quad x\geq0,\ y\geq0,\ 0\leq z\leq1 \right\}.$$

回答：

1. 对从 $(r,\theta,s)$ 到 $(x,y,z)$ 的变量变换

$$x=ar\cos\theta, \qquad y=br\sin\theta, \qquad z=s,$$

其中 $r\geq0$、$0\leq\theta\leq\pi/2$，求 Jacobian 行列式

$$\frac{\partial(x,y,z)} {\partial(r,\theta,s)}.$$

2. 在上述映射下，被映到 $D$ 的 $r\theta s$ 空间区域可写为

$$E= \left\{ (r,\theta,s) \ \middle|\ 0\leq r\leq\boxed{\phantom{\sqrt{s}}}, \ 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leq s\leq1 \right\}.$$

写出方框中应填的表达式。 3. 计算 $D$ 的体积

$$\iiint_D dx\,dy\,dz.$$

4. 在使广义积分

$$\iiint_D \frac{x^l y^m}{z^n}\,dx\,dy\,dz$$

有限的正整数三元组 $(l,m,n)$ 中，列出所有还满足 $l+m\leq n$ 的三元组。

問2

定义数列 $\{x_n:n=1,2,\ldots\}$：

$$x_1=1, \qquad x_n=\sin x_{n-1} \quad(n=2,3,\ldots).$$

对两个实值函数 $f,g$，若

$$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,$$

则用 Landau 记号写作 $f(x)=o(g(x))$；特别地， $f(x)=o(1)$ 表示 $\lim_{x\to0}f(x)=0$。回答：

1. 证明（可使用归纳法）

$$0<x_{n+1}<x_n, \qquad n=1,2,\ldots.$$

2. 求

$$\lim_{n\to\infty}x_n.$$

3. 写出 $\sin x$ 的 Maclaurin 展开，并用上述 Landau 记号统一表示五次及更高次的项。
4. 求常数 $a,b$，使

$$\frac{1}{(\sin x)^2} = \frac{a}{x^2}+b+o(1) \qquad(x\to0).$$

5. 利用第 2、4 问的结果求

$$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{x_{n+1}^2} -\frac{1}{x_n^2} \right).$$

6. 利用第 5 问证明

$$\lim_{n\to\infty}nx_n^2=3.$$

Kai

問1

(i)

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,s)} =\det\begin{pmatrix}a\cos\theta&-ar\sin\theta&0\\b\sin\theta&br\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}=abr.$$

(ii) $x^2/a^2+y^2/b^2=r^2\le s$ より、空欄は $\sqrt s$。

(iii)

$$\iiint_Ddx\,dy\,dz=ab\int_0^1\int_0^{\pi/2}\int_0^{\sqrt s}r\,dr\,d\theta\,ds=\frac{\pi ab}{8}.$$

(iv) 変数変換により

$$\iiint_D\frac{x^ly^m}{z^n}\,dx\,dy\,dz =\frac{a^{l+1}b^{m+1}}{l+m+2} \left(\int_0^{\pi/2}\cos^l\theta\sin^m\theta\,d\theta\right) \int_0^1s^{(l+m+2)/2-n}\,ds.$$

角度積分は有限かつ正なので、収束条件は $n<(l+m+4)/2$。$l+m\le n$ と正整数条件を合わせると

$$\boxed{(l,m,n)=(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)}.$$

問2

(i) $0<t\le1$ では $0<\sin t<t$。$x_1=1$ から帰納的に $0<x_{n+1}<x_n\le1$ が成り立つ。

(ii) 単調有界なので極限 $L\in[0,1]$ が存在する。$L=\sin L$ を満たすのは $L=0$ のみだから $x_n\to0$。

(iii)

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) =x-\frac{x^3}{6}+o(x^4).$$

(iv)

$$\frac1{\sin^2x} =\frac1{x^2}\left(1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)\right)^{-2} =\frac1{x^2}+\frac13+O(x^2).$$

よって $a=1,\ b=1/3$。

(v) $x_n\to0$ と (iv) より

$$\frac1{x_{n+1}^2}-\frac1{x_n^2}\longrightarrow\frac13.$$

(vi) (v) の差分を足して平均をとれば

$$\frac1{nx_n^2} =\frac1n+\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{x_{k+1}^2}-\frac1{x_k^2}\right) \longrightarrow\frac13.$$

したがって $\boxed{nx_n^2\to3}$。