京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2017年8月実施 数学 II

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$e$ を自然対数の底とし、$\exp(x)=e^x$ とする。

問1

正の整数 $N$ と実数 $\alpha$ を用いて $e=\alpha/N$ と表記する。

(i) $e^x$ の Maclaurin 展開を書け。

(ii) 次の不等式を示せ。

$$(N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^{N}\frac{N!}{n!}<1.$$

(iii) (ii) を用いて $\alpha$ が整数でないことを示せ。

問2

$f(x)=\exp(-x-e^{-x})$ ($-\infty<x<\infty$) とする。

(i) $u=-e^{-t}$ を用いて $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$ を計算せよ。

(ii) $\int_{-\infty}^{\infty}F(x)f(x)\,dx$ を計算せよ。

(iii) 実定数 $a,b$ に対し $\int_{-\infty}^{\infty}F(x-b)f(x-a)\,dx$ を計算せよ。

题目描述

令 $e$ 为自然对数的底，$\exp(x)=e^x$。

问1 用正整数 $N$ 和实数 $\alpha$ 写成 $e=\alpha/N$。（i）写出 $e^x$ 的 Maclaurin 展开。（ii）证明

$$(N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^{N}\frac{N!}{n!}<1.$$

（iii）利用（ii）证明 $\alpha$ 不是整数。

问2 设 $f(x)=\exp(-x-e^{-x})$，$x\in\mathbb R$。（i）用代换 $u=-e^{-t}$ 计算 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$。（ii）计算 $\int_{-\infty}^{\infty}F(x)f(x)\,dx$。（iii）对实常数 $a,b$，计算 $\int_{-\infty}^{\infty}F(x-b)f(x-a)\,dx$。

Kai

問1

(i) $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$。

(ii) $e=\alpha/N$ より

$$D:=(N-1)!\alpha-\sum_{n=0}^N\frac{N!}{n!} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(N+1)(N+2)\cdots(N+k)}.$$

各項は正であり、$k\ge2$ では分母が $(N+1)^k$ より大きい。よって

$$0<D<\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(N+1)^k}=\frac1N\le1.$$

(iii) $\alpha$ が整数なら $D$ も整数となるが、$0<D<1$ に矛盾する。よって $\alpha$ は整数ではない。

問2

(i) $u=-e^{-t}$ なら $du=e^{-t}dt$ なので

$$F(x)=\int_{-\infty}^{-e^{-x}}e^u\,du=\boxed{e^{-e^{-x}}}.$$

(ii) $F'=f$、$F(-\infty)=0,F(\infty)=1$ より

$$\int_{-\infty}^{\infty}Ff\,dx=\left[\frac{F^2}{2}\right]_{-\infty}^{\infty}=\boxed{\frac12}.$$

(iii) $t=x-a$、次いで $u=e^{-t}$ とおくと

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}F(x-b)f(x-a)\,dx &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-e^{b-a}e^{-t}}e^{-t-e^{-t}}\,dt\\ &=\int_0^\infty e^{-(1+e^{b-a})u}\,du =\boxed{\frac1{1+e^{b-a}}}. \end{aligned}$$