京都大学情報学研究科システム科学専攻 2017年8月実施数学 I

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

行列

A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}

について答えよ。

(i) $A=PJP^{-1}$ となる正則行列 $P$ と、次の形の行列 $J$ が存在する。実数 $a,b$ と $P$ を求めよ。

J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}.

(ii) $J^7,A^7$ を求めよ。

3次元実数ベクトル空間の部分空間を

S=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\ \middle|\ 2x=2y=-z\right\}

とする。

(i) $S$ の基底と $S$ への射影行列 $Q$ を求めよ。

(ii) $S$ の直交補空間 $T$ の基底と $T$ への射影行列 $R$ を求めよ。

(iii) $Q$ の行列式、 $R$ の階数、 $Q^2,QR$ を求めよ。

问1 对矩阵

A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&0&-1\\-1&0&3\end{pmatrix}

（i）已知存在可逆矩阵 $P$ 使 $A=PJP^{-1}$ ，其中

J=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&1\\0&0&b\end{pmatrix}.

求实数 $a,b$ 以及 $P$ 。（ii）求 $J^7,A^7$ 。

问2 在三维实向量空间中定义子空间

S=\{(x,y,z)^T\mid 2x=2y=-z\}.

（i）求 $S$ 的一组基和到 $S$ 的投影矩阵 $Q$ 。（ii）求 $S$ 的正交补 $T$ 的一组基和到 $T$ 的投影矩阵 $R$ 。（iii）求 $\det Q,\operatorname{rank}R,Q^2,QR$ 。

(i) 特性多項式は $(\lambda-2)(\lambda-1)^2$ 。次のベクトルは

v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}

$Av_1=2v_1$ 、 $Av_2=v_2$ 、 $(A-I)v_3=v_2$ を満たす。よって

\boxed{a=2,\quad b=1,\quad P=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&0\\1&1&2\end{pmatrix}}.

$\det P=-1\ne0$ であり $AP=PJ$ となる。

(ii) 大きさ2の Jordan ブロックは $(I+N)^7=I+7N$ ( $N^2=0$ ) を満たすので

\boxed{J^7=\begin{pmatrix}128&0&0\\0&1&7\\0&0&1\end{pmatrix}}.

$A^7=PJ^7P^{-1}$ から

\boxed{A^7=\begin{pmatrix}-239&113&367\\7&-6&-7\\-247&120&375\end{pmatrix}}.

(i) $w=(1,1,-2)^T$ とすると $S=\operatorname{span}\{w\}$ であり

\boxed{Q=\frac{ww^T}{w^Tw}=\frac16\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&1&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}}.

(ii) $T=\{(x,y,z)^T\mid x+y-2z=0\}$ の基底として $(-1,1,0)^T,(2,0,1)^T$ がとれる。また

\boxed{R=I-Q=\frac16\begin{pmatrix}5&-1&2\\-1&5&2\\2&2&2\end{pmatrix}}.

(iii) $Q$ は階数1の直交射影なので

\boxed{\det Q=0,\quad \operatorname{rank}R=2,\quad Q^2=Q,\quad QR=0}.