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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2016年8月実施 専門科目 確率統計

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Author​

uogxtc, 祭音Myyura

Description​

問題1​

下記の確率密度関数にしたがう確率変数 XX について、以下の設問に答えよ。 ただし、α>0\alpha > 0, β>0\beta > 0 はパラメータ（母数）である。

f(x)={αxα−1βαexp⁡(−(xβ)α)(x>0)0(x≤0)f(x) = \begin{cases} \frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha} \exp \left( - \left( \frac{x}{\beta} \right)^\alpha \right) & (x > 0) \\ 0 & (x \leq 0) \end{cases}

(1) 確率変数 XX の平均を、以下のガンマ関数とパラメータを用いて表せ。

Γ(θ)=∫0∞xθ−1e−xdx(θ>0)\Gamma(\theta) = \int_0^\infty x^{\theta-1} e^{-x} dx \quad (\theta > 0)

(2) 確率密度関数 f(x)f(x) が規定する確率分布から、大きさ nn の無作為標本

{X1,X2,…,Xn}\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}

が得られたとする。このとき、パラメータ α=α0\alpha = \alpha_0 を既知として、パラメータ β\beta の最尤推定量を求めよ。

問題2​

以下の設問に答えよ。

(1) X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n を、独立かつ同一の確率分布（確率密度関数を f(x)f(x)、累積分布関数を F(x)F(x) とする）にしたがう確率変数とする。 このとき、X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n の最小値

Z=min⁡(X1,X2,…,Xn)Z = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)

もまた確率変数となるが、その確率密度関数 g(z)g(z) を ff と FF を用いて表せ。

(2) 設問 (1) の X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n の確率分布が区間 [0,b][0, b] の一様分布 (b>0)(b > 0) であるとき、

Z=min⁡(X1,X2,…,Xn)Z = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)

の期待値を求めよ。

問題3​

以下の設問に答えよ。

(1) 半径 aa の円 CC 内に、2 点 A,BA,B を独立かつそれぞれ円 CC 内の一様分布にしたがうようにとる。 ABAB 間の距離を RR としたとき、R2R^2 の期待値を求めよ。

(2) 設問 (1) において、点 AA を中心とし ABAB 間の距離 RR を半径とする円が、円 CC 内に全て含まれる確率を求めよ。

题目描述​

  1. 随机变量 XX 的概率密度函数为
f(x)={αxα−1βαexp⁡ ⁣[−(xβ)α](x>0),0(x≤0), f(x)= \begin{cases} \dfrac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha} \exp\!\left[-\left(\dfrac{x}{\beta}\right)^\alpha\right] & (x>0),\\ 0 & (x\leq0), \end{cases}

其中 α>0,β>0\alpha>0,\beta>0 为参数。

（1）使用 Gamma 函数

Γ(θ)=∫0∞xθ−1e−x dx(θ>0) \Gamma(\theta)=\int_0^\infty x^{\theta-1}e^{-x}\,dx \qquad(\theta>0)

和上述参数表示 XX 的均值。

（2）从该密度所规定的分布中得到容量为 nn 的随机样本

{X1,X2,…,Xn}. \{X_1,X_2,\ldots,X_n\}.

已知 α=α0\alpha=\alpha_0，求参数 β\beta 的最大似然估计量。

  1. 回答下列问题。

    （1）设 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 独立同分布，其密度函数和累积分布函数分别为 f(x),F(x)f(x),F(x)。令

Z=min⁡(X1,X2,…,Xn). Z=\min(X_1,X_2,\ldots,X_n).

用 f,Ff,F 表示 ZZ 的概率密度函数 g(z)g(z)。

（2）若第（1）问中的 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 均服从区间 [0,b][0,b] 上的均匀分布，其中 b>0b>0，求 ZZ 的期望。

  1. 回答下列问题。

    （1）在半径为 aa 的圆盘 CC 内，独立地按圆盘上的均匀分布选取两点 A,BA,B。令两点距离为 RR，求 E[R2]E[R^2]。

    （2）在第（1）问中，以 AA 为圆心、以 R=ABR=AB 为半径的圆完全包含在圆盘 CC 内的概率是多少？

Kai​

問題1​

(1) u=(x/β)αu=(x/\beta)^\alpha とおくと

E[X]=β∫0∞u1/αe−u du=βΓ(1+1/α).E[X]=\beta\int_0^\infty u^{1/\alpha}e^{-u}\,du =\boxed{\beta\Gamma(1+1/\alpha)}.

(2) β\beta に関係する対数尤度は −nα0log⁡β−β−α0∑iXiα0-n\alpha_0\log\beta-\beta^{-\alpha_0}\sum_iX_i^{\alpha_0} である。微分して

dℓdβ=α0β(−n+β−α0∑iXiα0).\frac{d\ell}{d\beta}=\frac{\alpha_0}{\beta}\left(-n+\beta^{-\alpha_0}\sum_iX_i^{\alpha_0}\right).

符号が正から負に変わる点で最大となり、

β^=(1n∑i=1nXiα0)1/α0.\boxed{\widehat\beta=\left(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^{\alpha_0}\right)^{1/\alpha_0}}.

問題2​

(1) 独立性から P(Z>z)={1−F(z)}nP(Z>z)=\{1-F(z)\}^n。微分して

g(z)=n{1−F(z)}n−1f(z).\boxed{g(z)=n\{1-F(z)\}^{n-1}f(z)}.

(2) 0<z<b0<z<b では P(Z>z)=(1−z/b)nP(Z>z)=(1-z/b)^n なので

E[Z]=∫0b(1−z/b)n dz=bn+1.\boxed{E[Z]=\int_0^b(1-z/b)^n\,dz=\frac b{n+1}}.

問題3​

(1) OO を円の中心とする。円盤上一様分布の半径の密度は 2r/a22r/a^2 だから

E[∣OA∣2]=∫0ar22ra2 dr=a22,E[OA→]=0.E[|OA|^2]=\int_0^ar^2\frac{2r}{a^2}\,dr=\frac{a^2}{2},\qquad E[\overrightarrow{OA}]=0.

A,BA,B の独立性より

E[R2]=E[∣OA∣2]+E[∣OB∣2]−2E[OA→]⋅E[OB→]=a2.E[R^2]=E[|OA|^2]+E[|OB|^2]-2E[\overrightarrow{OA}]\cdot E[\overrightarrow{OB}] =\boxed{a^2}.

(2) ∣OA∣=r|OA|=r を固定すると、求める条件は BB が AA を中心とする半径 a−ra-r の円盤内にあることと同値。この円盤は元の円盤内に含まれるので条件付き確率は (a−r)2/a2(a-r)^2/a^2。したがって

P=∫0a(a−r)2a22ra2 dr=16.\boxed{P=\int_0^a\frac{(a-r)^2}{a^2}\frac{2r}{a^2}\,dr=\frac16}.

条件を満たす B の領域

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