京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2016年8月実施 専門科目 確率統計

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uogxtc

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問題1

下記の確率密度関数にしたがう確率変数 について、以下の設問に答えよ。 ただし、, はパラメータ（母数）である。

(1) 確率変数 の平均を、以下のガンマ関数とパラメータを用いて表せ。

(2) 確率密度関数 が規定する確率分布から、大きさ の無作為標本

が得られたとする。このとき、パラメータ を既知として、パラメータ の最尤推定量を求めよ。

問題2

以下の設問に答えよ。

(1) を、独立かつ同一の確率分布（確率密度関数を 、累積分布関数を とする）にしたがう確率変数とする。 このとき、 の最小値

もまた確率変数となるが、その確率密度関数 を と を用いて表せ。

(2) 設問 (1) の の確率分布が区間 の一様分布 であるとき、

の期待値を求めよ。

問題3

以下の設問に答えよ。

(1) 半径 の円 内に、2 点 を独立かつそれぞれ円 内の一様分布にしたがうようにとる。 間の距離を としたとき、 の期待値を求めよ。

(2) 設問 (1) において、点 を中心とし 間の距離 を半径とする円が、円 内に全て含まれる確率を求めよ。

Kai

問題1

(Readers may refer to Weibull distribution.)

(1)

Let and we have

Then

(2)

The likelihood function is

from which we know that the log-likelihood function is

By setting , we get

問題2

(1)

(The problems of the CDF/PDF of min/max of random variables are commonly seen in the exams.)

The cumulative distribution function (CDF, 累積分布関数) of is as follows:

The probability density function (PDF,確率密度関数) is

(2)

The PDF of is

Then,

問題3

(1)

Suppose that = and = , where and

Then

(2)

The probability is

Here is the probability that lies in a circle centered with of radius .

Suppose that the distance between and the center of the circle is . Then needs to lies in a circle whose center is and radius is . The probability of this event is since the are uniformly distributed on the circle.