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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2015年8月実施 確率統計

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

確率変数 (X,Y)(X,Y) で表される母集団からの大きさ nn の無作為標本を {(X1,Y1),…,(Xn,Yn)}\{(X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n)\} とする。X,YX,Y は独立で、E[X]=μx,E[Y]=μy,E[(X−μx)2]=vx,E[(Y−μy)2]=vyE[X]=\mu_x,E[Y]=\mu_y,E[(X-\mu_x)^2]=v_x,E[(Y-\mu_y)^2]=v_y とする。

(1) A=cA(∑i=1nXi)(∑i=1nYi)A=c_A(\sum_{i=1}^nX_i)(\sum_{i=1}^nY_i) が μxμy\mu_x\mu_y の不偏推定量となるよう定数 cAc_A を定めよ。

(2) (1) の cAc_A による AA の分散を求めよ。

(3) B=cB∑i=1nXiYiB=c_B\sum_{i=1}^nX_iY_i が μxμy\mu_x\mu_y の不偏推定量となるよう定数 cBc_B を定め、その平均二乗誤差と AA の平均二乗誤差を比較せよ。

(4) 母集団分布が正規分布のとき、(1) の AA が μxμy\mu_x\mu_y の最尤推定量であることを示せ。

問題2​

(1) X,YX,Y が独立で同じ分布に従うとき、U=X+Y,V=X−YU=X+Y,V=X-Y は一般に独立か、一般に無相関かをそれぞれ理由とともに答えよ。

(2) (1) で X,YX,Y がそれぞれ標準正規分布に従うとき、U,VU,V は独立か、理由とともに答えよ。

(3) 図のように原点を中心とする半径1の円の第1象限の円弧上に A,BA,B をとる。OA,OBOA,OB が xx 軸となす角 ΘA,ΘB\Theta_A,\Theta_B は独立に区間 [0,π/2)[0,\pi/2) 上の一様分布に従う。OO から直線 ABAB への垂線の長さを Ψ\Psi、直線 ABAB と xx 軸がつくる図の角を Θ\Theta とする。Ψ,Θ\Psi,\Theta の同時確率密度を求めよ。必要なら d(arccos⁡x)/dx=−1/1−x2d(\arccos x)/dx=-1/\sqrt{1-x^2} を用いてよい。

円弧上の二点と直線 AB

题目描述​

问题1 从随机变量 (X,Y)(X,Y) 所表示的总体中取得容量为 nn 的随机样本 {(Xi,Yi)}i=1n\{(X_i,Y_i)\}_{i=1}^n。X,YX,Y 相互独立，且均值分别为 μx,μy\mu_x,\mu_y，方差分别为 vx,vyv_x,v_y。

（1）确定常数 cAc_A，使 A=cA(∑iXi)(∑iYi)A=c_A(\sum_iX_i)(\sum_iY_i) 为 μxμy\mu_x\mu_y 的无偏估计量。（2）求此 AA 的方差。（3）确定 cBc_B，使 B=cB∑iXiYiB=c_B\sum_iX_iY_i 无偏，并比较 A,BA,B 的均方误差。（4）若总体分布是正态分布，证明 AA 是 μxμy\mu_x\mu_y 的最大似然估计量。

问题2 （1）若 X,YX,Y 独立同分布，判断 U=X+Y,V=X−YU=X+Y,V=X-Y 一般是否独立、是否不相关，并说明理由。（2）若 X,YX,Y 独立且均服从标准正态分布，判断 U,VU,V 是否独立并说明理由。

（3）在以原点为中心的单位圆第一象限圆弧上取两点 A,BA,B，它们与 xx 轴的夹角 ΘA,ΘB\Theta_A,\Theta_B 独立且均匀分布在 [0,π/2)[0,\pi/2)。令 Ψ\Psi 为原点到直线 ABAB 的垂直距离，Θ\Theta 为图示直线与 xx 轴的角。求 Ψ,Θ\Psi,\Theta 的联合概率密度。可用 d(arccos⁡x)/dx=−1/1−x2d(\arccos x)/dx=-1/\sqrt{1-x^2}。

Kai​

問題1​

(1) XX 標本全体と YY 標本全体が独立なので、E[A]=cAn2μxμyE[A]=c_An^2\mu_x\mu_y。よって cA=1/n2\boxed{c_A=1/n^2}、A=XˉYˉA=\bar X\bar Y。

(2) 独立性より

Var⁡(A)=E[Xˉ2]E[Yˉ2]−μx2μy2=vxvyn2+vxμy2+vyμx2n.\begin{aligned} \operatorname{Var}(A) &=E[\bar X^2]E[\bar Y^2]-\mu_x^2\mu_y^2\\ &=\boxed{\frac{v_xv_y}{n^2}+\frac{v_x\mu_y^2+v_y\mu_x^2}{n}}. \end{aligned}

(3) E[∑iXiYi]=nμxμyE[\sum_iX_iY_i]=n\mu_x\mu_y より cB=1/n\boxed{c_B=1/n}。両推定量は不偏なので平均二乗誤差は分散に等しく、

MSE⁡(B)=vxvy+vxμy2+vyμx2n.\operatorname{MSE}(B)=\frac{v_xv_y+v_x\mu_y^2+v_y\mu_x^2}{n}.

したがって

MSE⁡(B)−MSE⁡(A)=n−1n2vxvy≥0.\boxed{\operatorname{MSE}(B)-\operatorname{MSE}(A) =\frac{n-1}{n^2}v_xv_y\ge0}.

(4) 正規標本の対数尤度は X,YX,Y の項に分離し、各平均の最大化点は μ^x=Xˉ,μ^y=Yˉ\widehat\mu_x=\bar X,\widehat\mu_y=\bar Y。最尤推定量の不変性から μxμy^=XˉYˉ=A\widehat{\mu_x\mu_y}=\bar X\bar Y=A。分散も未知で標本分散が 00 の場合は、正分散モデル内に尤度の最大値は存在しない。

問題2​

(1) 一般には独立ではない。例えば独立な Bernoulli(1/2)(1/2) の X,YX,Y に対し、U=0U=0 なら必ず V=0V=0 であり、P(V=0∣U=0)=1≠1/2=P(V=0)P(V=0\mid U=0)=1\ne1/2=P(V=0)。

有限な2次モーメントをもつ場合は

Cov⁡(U,V)=Var⁡(X)−Var⁡(Y)=0\operatorname{Cov}(U,V)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)=0

なので無相関である。

(2) 正規ベクトルの線形変換なので (U,V)(U,V) は同時正規であり、(1) より無相関だから独立である。実際、U,VU,V はそれぞれ N(0,2)N(0,2) に従い、

fU,V(u,v)=14πe−(u2+v2)/4=fU(u)fV(v).f_{U,V}(u,v)=\frac1{4\pi}e^{-(u^2+v^2)/4}=f_U(u)f_V(v).

(3) M=(ΘA+ΘB)/2M=(\Theta_A+\Theta_B)/2、D=∣ΘA−ΘB∣/2D=|\Theta_A-\Theta_B|/2 とおく。円の幾何から

Ψ=cos⁡D,Θ=π2+M.\Psi=\cos D,\qquad\Theta=\frac\pi2+M.

0<M<π/20<M<\pi/2、0<D<min⁡(M,π/2−M)0<D<\min(M,\pi/2-M) であり、各 (M,D)(M,D) には (ΘA,ΘB)=(M+D,M−D),(M−D,M+D)(\Theta_A,\Theta_B)=(M+D,M-D),(M-D,M+D) の2原像がある。それぞれの Jacobian の絶対値は 22 なので

fM,D(m,d)=2⋅2⋅4π2=16π2.f_{M,D}(m,d)=2\cdot2\cdot\frac4{\pi^2}=\frac{16}{\pi^2}.

さらに ∣dD/dΨ∣=1/1−Ψ2|dD/d\Psi|=1/\sqrt{1-\Psi^2} より

fΨ,Θ(ψ,θ)={16π21−ψ2,π2<θ<π,max⁡(sin⁡θ,−cos⁡θ)<ψ<1,0,その他.\boxed{f_{\Psi,\Theta}(\psi,\theta)= \begin{cases} \displaystyle\frac{16}{\pi^2\sqrt{1-\psi^2}},& \displaystyle\frac\pi2<\theta<\pi,\quad\max(\sin\theta,-\cos\theta)<\psi<1,\\[2mm] 0,&\text{その他}. \end{cases}}
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