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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2014年8月実施 専門科目 確率統計

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

確率変数 XX の確率密度関数は

f(x)={x−1/2e−x/απα,x>0,0,x≤0,α>0f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{-1/2}e^{-x/\alpha}}{\sqrt{\pi\alpha}},&x>0,\\0,&x\le0,\end{cases}\qquad \alpha>0

である。∫0∞x−1/2e−x/αdx=πα\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-x/\alpha}dx=\sqrt{\pi\alpha} を証明なしに用いてよい。

(1) XX の期待値を求めよ。

(2) XX の分散を求めよ。

(3) この分布からの無作為標本 S={X1,…,Xn}S=\{X_1,\ldots,X_n\} に基づく α\alpha の最尤推定量を求めよ。

(4) (3) の推定量は不偏推定量か。理由も述べよ。

問題2​

(1) XX が標準正規分布に従うとき、Y=eXY=e^X の確率密度関数を求めよ。

(2) XX は (0,1)(0,1) 上の一様分布に従う。Y=f(X)Y=f(X) の密度が

p(y)={λe−λy,y>0,0,y≤0(λ>0)p(y)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda y},&y>0,\\0,&y\le0\end{cases}\qquad(\lambda>0)

となるような関数 ff を定めよ。

(3) (X,Y)(X,Y) の同時密度を

p(x,y)={1/π,x2+y2≤1,0,x2+y2>1p(x,y)=\begin{cases}1/\pi,&x^2+y^2\le1,\\0,&x^2+y^2>1\end{cases}

とする。次の変数変換による Z,WZ,W は互いに独立で、それぞれ標準正規分布に従うことを示せ。

Z=X−2log⁡(X2+Y2)X2+Y2,W=Y−2log⁡(X2+Y2)X2+Y2.Z=X\sqrt{\frac{-2\log(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2}},\qquad W=Y\sqrt{\frac{-2\log(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2}}.

题目描述​

问题1 随机变量 XX 的密度为

f(x)={x−1/2e−x/α/πα,x>0,0,x≤0,α>0.f(x)=\begin{cases}x^{-1/2}e^{-x/\alpha}/\sqrt{\pi\alpha},&x>0,\\0,&x\le0,\end{cases}\quad\alpha>0.

可使用 ∫0∞x−1/2e−x/αdx=πα\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-x/\alpha}dx=\sqrt{\pi\alpha}。(1) 求期望。(2) 求方差。(3) 根据该分布的随机样本 S={X1,…,Xn}S=\{X_1,\ldots,X_n\} 求 α\alpha 的最大似然估计量。(4) 判断其是否无偏并说明理由。

问题2 (1) 若 XX 服从标准正态分布，求 Y=eXY=e^X 的密度。(2) 若 X∼U(0,1)X\sim U(0,1)，构造 ff，使 Y=f(X)Y=f(X) 在 y>0y>0 时密度为 λe−λy\lambda e^{-\lambda y}、在其余处为零，其中 λ>0\lambda>0。(3) 若 (X,Y)(X,Y) 在单位圆盘上均匀分布，即圆盘内密度 1/π1/\pi、外部为零，证明

Z=X−2log⁡(X2+Y2)X2+Y2,W=Y−2log⁡(X2+Y2)X2+Y2Z=X\sqrt{\frac{-2\log(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2}},\quad W=Y\sqrt{\frac{-2\log(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2}}

彼此独立且都服从标准正态分布。

Kai​

問題1​

(1), (2)​

部分積分により

∫0∞x1/2e−x/αdx=α2πα,∫0∞x3/2e−x/αdx=3α24πα.\int_0^\infty x^{1/2}e^{-x/\alpha}dx=\frac\alpha2\sqrt{\pi\alpha},\qquad \int_0^\infty x^{3/2}e^{-x/\alpha}dx=\frac{3\alpha^2}{4}\sqrt{\pi\alpha}.

従って E[X]=α/2\boxed{E[X]=\alpha/2}、E[X2]=3α2/4E[X^2]=3\alpha^2/4 であり、V[X]=α2/2\boxed{V[X]=\alpha^2/2}。

(3), (4)​

対数尤度の α\alpha に依存する部分は

ℓ(α)=−n2log⁡α−1α∑j=1nXj.\ell(\alpha)=-\frac n2\log\alpha-\frac1\alpha\sum_{j=1}^nX_j.

ℓ′(α)=0\ell'(\alpha)=0 より

α^ML=2n∑j=1nXj.\boxed{\widehat\alpha_{\rm ML}=\frac2n\sum_{j=1}^nX_j}.

この点の前後で ℓ′\ell' は正から負へ変わる。また E[α^ML]=(2/n)n(α/2)=αE[\widehat\alpha_{\rm ML}]=(2/n)n(\alpha/2)=\alpha だから不偏である。

問題2​

(1)​

x=log⁡yx=\log y、dx/dy=1/ydx/dy=1/y より

fY(y)={12π ye−(log⁡y)2/2,y>0,0,y≤0.\boxed{f_Y(y)=\begin{cases}\dfrac1{\sqrt{2\pi}\,y}e^{-(\log y)^2/2},&y>0,\\0,&y\le0.\end{cases}}

(2)​

例えば f(x)=−λ−1log⁡(1−x)\boxed{f(x)=-\lambda^{-1}\log(1-x)} とすれば、y>0y>0 で

P(Y≤y)=P(X≤1−e−λy)=1−e−λy.P(Y\le y)=P(X\le1-e^{-\lambda y})=1-e^{-\lambda y}.

これを微分すれば所定の密度になる。

(3)​

U=X2+Y2U=X^2+Y^2、Θ=arg⁡(X+iY)\Theta=\arg(X+iY) とおく。極座標のヤコビアンより、U∼U(0,1)U\sim U(0,1)、Θ∼U(0,2π)\Theta\sim U(0,2\pi) は独立である。R=−2log⁡UR=\sqrt{-2\log U} とすると

fR,Θ(r,θ)=r2πe−r2/2(r>0, 0≤θ<2π).f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac r{2\pi}e^{-r^2/2}\qquad(r>0,\ 0\le\theta<2\pi).

Z=Rcos⁡Θ, W=Rsin⁡ΘZ=R\cos\Theta,\ W=R\sin\Theta のヤコビアンは rr なので

fZ,W(z,w)=12πe−(z2+w2)/2=e−z2/22πe−w2/22π.f_{Z,W}(z,w)=\frac1{2\pi}e^{-(z^2+w^2)/2} =\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-w^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.

従って Z,WZ,W は独立な標準正規変数である。原点および円周上の定義は確率零なので分布に影響しない。

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