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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2014年8月実施 数学【I】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

以下の設問に答えよ。

(1) 次の行列の階数を求めよ。ただし、xx は実数である。

A=(1xxx1xxx1).A=\begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix}.

(2) すべての要素が整数である正則行列 AA を考える。A−1A^{-1} のすべての要素が整数ならば、AA の行列式は 11 か −1-1 のいずれかになることを証明せよ。

(3) AT=−AA^{\mathrm T}=-A を満たす実行列 AA を考える。この行列の固有値 λ\lambda とそれに関する固有ベクトル xx に対して、ATx‾=λ‾xA^{\mathrm T}\overline{x}=\overline{\lambda}x の関係が知られている。この関係を用いて、行列 AA の固有値は純虚数になることを証明せよ。ただし、ATA^{\mathrm T} は転置、λ‾\overline{\lambda} は複素共役である。

問題2​

R3\mathbb R^3 の部分空間 V,WV,W を

V={(x,y,z)T∈R3∣x+2y+z=0, x+y=0},W={(x,y,z)T∈R3∣−x+y+2z=0}V=\{(x,y,z)^{\mathrm T}\in\mathbb R^3\mid x+2y+z=0,\ x+y=0\}, \qquad W=\{(x,y,z)^{\mathrm T}\in\mathbb R^3\mid -x+y+2z=0\}

とする。以下の設問には理由も示せ。

(1) VV の次元を求めよ。

(2) V∩WV\cap W の次元を求めよ。

(3) V+WV+W の次元を求めよ。

(4) WW の直交補空間 UU の基底を求めよ。ただし、基底の第一要素は 11 とする。

(5) W∪UW\cup U が R3\mathbb R^3 の部分空間であるか否かを示せ。

题目描述​

问题1

(1) 求实参数矩阵 A=(1xxx1xxx1)A=\begin{pmatrix}1&x&x\\x&1&x\\x&x&1\end{pmatrix} 的秩。

(2) 设可逆矩阵 AA 的所有元素都是整数，且 A−1A^{-1} 的所有元素也都是整数。证明 det⁡A=1\det A=1 或 −1-1。

(3) 设实矩阵 AA 满足 AT=−AA^{\mathrm T}=-A。设 λ\lambda 是特征值、xx 是对应特征向量。利用题面给出的关系 ATx‾=λ‾xA^{\mathrm T}\overline{x}=\overline\lambda x，证明 AA 的特征值是纯虚数；ATA^{\mathrm T} 表示转置，横线表示复共轭。

问题2

设

V={(x,y,z)T∈R3:x+2y+z=0, x+y=0},W={(x,y,z)T∈R3:−x+y+2z=0}.V=\{(x,y,z)^{\mathrm T}\in\mathbb R^3:x+2y+z=0,\ x+y=0\},\quad W=\{(x,y,z)^{\mathrm T}\in\mathbb R^3:-x+y+2z=0\}.

求 (1) dim⁡V\dim V、(2) dim⁡(V∩W)\dim(V\cap W)、(3) dim⁡(V+W)\dim(V+W)、(4) WW 的正交补空间 UU 的一个基（该基向量第一分量取 11）；(5) 判断 W∪UW\cup U 是否为 R3\mathbb R^3 的子空间。各问均说明理由。

Kai​

問題1​

(1)​

A=(1−x)I+x11TA=(1-x)I+x\boldsymbol1\boldsymbol1^{\mathrm T} の固有値は 1+2x,1−x,1−x1+2x,1-x,1-x である。従って

rank⁡A={1,x=1,2,x=−12,3,x≠1,−12.\boxed{\operatorname{rank}A=\begin{cases}1,&x=1,\\2,&x=-\frac12,\\3,&x\ne1,-\frac12.\end{cases}}

(2)​

行列式の定義から det⁡A,det⁡A−1∈Z\det A,\det A^{-1}\in\mathbb Z であり、その積は 11 である。従って det⁡A=±1\boxed{\det A=\pm1}。

(3)​

Ax=λxAx=\lambda x を共役転置すると、x∗AT=λ‾x∗x^*A^{\mathrm T}=\overline\lambda x^* となる。AT=−AA^{\mathrm T}=-A より

λ∥x∥2=x∗Ax=−λ‾∥x∥2.\lambda\|x\|^2=x^*Ax=-\overline\lambda\|x\|^2.

x≠0x\ne0 だから λ=−λ‾\lambda=-\overline\lambda、すなわち Re⁡λ=0\boxed{\operatorname{Re}\lambda=0} である。

問題2​

(1)–(3)​

V=span⁡{(−1,1,−1)T}V=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)^{\mathrm T}\} なので dim⁡V=1\dim V=1。この基底ベクトルは WW に属するため V⊂WV\subset W であり、WW を定める独立な条件は一つである。従って

dim⁡V=1,dim⁡(V∩W)=1,dim⁡(V+W)=2.\boxed{\dim V=1,\qquad\dim(V\cap W)=1,\qquad\dim(V+W)=2}.

(4)​

WW の法線ベクトルは (−1,1,2)T(-1,1,2)^{\mathrm T} である。第一要素を 11 にすると、求める基底は {(1,−1,−2)T}\boxed{\{(1,-1,-2)^{\mathrm T}\}}。

(5)​

w=(1,1,0)T∈Ww=(1,1,0)^{\mathrm T}\in W、u=(1,−1,−2)T∈Uu=(1,-1,-2)^{\mathrm T}\in U とする。w+u=(2,0,−2)Tw+u=(2,0,-2)^{\mathrm T} は WW にも UU にも属さない。加法で閉じないので、W∪U は部分空間ではない\boxed{W\cup U\text{ は部分空間ではない}}。

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