京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2014年8月実施 専門科目 工業数学

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

問題1

$z$ を複素変数とする。

(1) 次の複素関数の極、および対応する位数と留数を求めよ。

$$\frac{2+z^4-2\cosh z^2}{z^9}.$$

(2) 多価関数 $z^{3i}$ の $z=1-\sqrt3i$ における値をすべて求めよ。

(3) $z=x+iy$ とし、$C_0$ を $x^2-xy+y^2+x+y=0$ を反時計回りに一周する経路とする。次を求めよ。

$$\oint_{C_0}\frac{dz}{1+z^4}.$$

問題2

$C$ は原点を中心とし、正の実軸と接した半径 $r$、中心角 $\pi/4$ の扇形の周囲を反時計回りに一周する経路である。

$C$ に沿って $e^{-z^2}$ を積分し、$r\to\infty$ の極限をとることにより、$\int_0^\infty\sin x^2\,dx$ を求めよ。ただし、以下を証明せず用いてよい。

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2},\qquad \int_0^{\pi/2}e^{-x\sin\theta}\,d\theta<\frac\pi{2x}\quad(x>0).$$

問題3

$$f(z)=\frac{z+z^{-1}}2,\qquad w=g(z)=\frac{z-1}{z+1}$$

とおく。

(1) $f\circ f\circ g^{-1}(w)$ を求めよ。

(2) $f^n\circ g^{-1}(w)$ を求めよ。$f^n$ は $f$ の $n$ 回合成、$n$ は非負整数である。

(3) 右半面 $\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}z>0\}$ の $g$ による像を求めよ。

(4) $z$ は純虚数でないものとする。数列 $z,f(z),f^2(z),\ldots$ が収束する $z$ の範囲と、その極限を求めよ。

题目描述

问题1 设 $z$ 为复变量。(1) 求 $(2+z^4-2\cosh z^2)/z^9$ 的极点、阶数和留数。(2) 求多值函数 $z^{3i}$ 在 $z=1-\sqrt3i$ 的全部值。(3) 设 $z=x+iy$，$C_0$ 为椭圆 $x^2-xy+y^2+x+y=0$ 的逆时针闭合路径，求 $\oint_{C_0}(1+z^4)^{-1}dz$。

问题2 $C$ 是以原点为圆心、半径为 $r$、位于正实轴与辐角 $\pi/4$ 射线之间的扇形边界，方向为逆时针（见图）。沿 $C$ 积分 $e^{-z^2}$ 并令 $r\to\infty$，求 $\int_0^\infty\sin x^2\,dx$。可直接使用

$$\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}2,\qquad \int_0^{\pi/2}e^{-x\sin\theta}d\theta<\frac\pi{2x}\quad(x>0).$$

问题3 令 $f(z)=(z+z^{-1})/2$、$g(z)=(z-1)/(z+1)$。(1) 求 $f\circ f\circ g^{-1}(w)$。(2) 求 $f^n\circ g^{-1}(w)$，$f^n$ 表示 $n$ 次复合，$n$ 为非负整数。(3) 求右半平面在 $g$ 下的像。(4) 设 $z$ 非纯虚数，求迭代序列 $z,f(z),f^2(z),\ldots$ 收敛的 $z$ 范围与相应极限。

Kai

問題1

(1)

$$\cosh z^2=1+\frac{z^4}{2}+\frac{z^8}{24}+O(z^{12}),\qquad \frac{2+z^4-2\cosh z^2}{z^9}=-\frac1{12z}+O(z^3).$$

従って唯一の極は $\boxed{z=0}$、位数は $\boxed1$、留数は $\boxed{-1/12}$。

(2)

$\log z=\log2+i(-\pi/3+2\pi k)$ より、求める値は

$$\boxed{\exp(\pi-6\pi k)\exp(3i\log2),\qquad k\in\mathbb Z}.$$

(3)

$1+z^4=0$ の解は $z_k=e^{(2k+1)\pi i/4}$ である。楕円内部は $x^2-xy+y^2+x+y<0$ であり、四つの解のうち内部にあるのは $a=e^{5\pi i/4}$ のみである。従って

$$\oint_{C_0}\frac{dz}{1+z^4} =2\pi i\frac1{4a^3} =\boxed{\frac{\sqrt2\pi}{4}(-1+i)}.$$

問題2

円弧を $\Gamma_r$ とすると、コーシーの積分定理より

$$0=\int_0^r e^{-x^2}dx+\int_{\Gamma_r}e^{-z^2}dz -e^{i\pi/4}\int_0^r e^{-it^2}dt.$$

与えられた評価を用いて

$$\left|\int_{\Gamma_r}e^{-z^2}dz\right| \le r\int_0^{\pi/4}e^{-r^2\cos2\theta}d\theta =\frac r2\int_0^{\pi/2}e^{-r^2\sin u}du <\frac\pi{4r}\longrightarrow0.$$

従って

$$\int_0^\infty e^{-it^2}dt=e^{-i\pi/4}\frac{\sqrt\pi}2 =\frac{\sqrt{2\pi}}4(1-i).$$

虚部を比較すると $\boxed{\int_0^\infty\sin x^2dx=\sqrt{2\pi}/4}$。

問題3

(1), (2)

$g^{-1}(w)=(1+w)/(1-w)$ であり、

$$f\left(\frac{1+w}{1-w}\right)=\frac{1+w^2}{1-w^2}.$$

帰納法により、各合成が定義される範囲で

$$\boxed{f\circ f\circ g^{-1}(w)=\frac{1+w^4}{1-w^4}},\qquad \boxed{f^n\circ g^{-1}(w)=\frac{1+w^{2^n}}{1-w^{2^n}}}.$$

(3)

$$\operatorname{Re}g^{-1}(w)=\frac{1-|w|^2}{|1-w|^2}$$

より、像は $\boxed{\{w\in\mathbb C:|w|<1\}}$。

(4)

$\operatorname{Re}z>0$ なら $|g(z)|<1$、$\operatorname{Re}z<0$ かつ $z\ne-1$ なら $|g(z)|>1$ である。(2) によりそれぞれ極限は $1,-1$ となる。$z=-1$ も固定点である。従って純虚数でないすべての $z$ で収束し、

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}f^n(z)=\begin{cases}1,&\operatorname{Re}z>0,\\-1,&\operatorname{Re}z<0.\end{cases}}$$