京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2013年8月実施 専門科目 確率統計

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

問題1

既知の母平均 $\mu_0$ と未知の母分散 $v>0$ をもつ正規母集団 $N(\mu_0,v)$ から無作為標本 $X_1,\ldots,X_n$ を得る。母集団の密度は

$$f_G(x;v)=\frac1{\sqrt{2\pi v}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_0)^2}{2v}\right).$$

(1) モーメント母関数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$ を求めよ。

(2) (1) を用いて、母平均周りの $3$ 次と $4$ 次のモーメントを求めよ。$k$ 次モーメントは $E[(X-\mu_0)^k]$ をいう。

(3) $v$ の最尤推定量 $\widehat v$ を求めよ。

(4) $E[\widehat v]$ と $V[\widehat v]$ を求めよ。

(5) $\widehat v$ が不偏推定量であることを示せ。

問題2

(1) $X,Y,Z$ は互いに独立で、それぞれ $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$XY$ と $Z^2$ の同時密度、および $P(XY<Z^2)$ を求めよ。

(2) $(X,Y)$ の同時密度は

$$f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad0\le\rho<1$$

である。$X$ と $Z=(Y-\rho X)/\sqrt{1-\rho^2}$ は互いに独立で、それぞれ $N(0,1)$ に従うことを示せ。

(3) (2) の結果を用いて、(2) の分布における $P(X>0,Y>0)$ を $\rho$ で表せ。

题目描述

问题1 从均值 $\mu_0$ 已知、方差 $v>0$ 未知的正态总体 $N(\mu_0,v)$ 抽取随机样本 $X_1,\ldots,X_n$；其密度为 $(2\pi v)^{-1/2}\exp[-(x-\mu_0)^2/(2v)]$。(1) 求矩母函数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$。(2) 利用 (1) 求三阶、四阶中心矩 $E[(X-\mu_0)^3]$、$E[(X-\mu_0)^4]$。(3) 求 $v$ 的最大似然估计量 $\widehat v$。(4) 求其期望和方差。(5) 证明其无偏。

问题2 (1) $X,Y,Z$ 独立且均服从 $U(0,1)$，求 $XY$ 与 $Z^2$ 的联合密度及 $P(XY<Z^2)$。(2) 若 $(X,Y)$ 的密度为

$$f(x,y)=\frac{\exp[-(x^2-2\rho xy+y^2)/(2(1-\rho^2))]}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}},\quad0\le\rho<1,$$

证明 $X$ 与 $Z=(Y-\rho X)/\sqrt{1-\rho^2}$ 独立且均为标准正态变量。(3) 利用 (2) 将 $P(X>0,Y>0)$ 表为 $\rho$ 的函数。

Kai

問題1

(1) 指数を平方完成して積分すると $\boxed{M_X(t)=\exp(\mu_0t+vt^2/2)}$。

(2) $M_{X-\mu_0}(t)=e^{vt^2/2}=1+vt^2/2+v^2t^4/8+\cdots$ より、$\boxed{E[(X-\mu_0)^3]=0}$、$\boxed{E[(X-\mu_0)^4]=3v^2}$。

(3) 対数尤度を微分して

$$\ell'(v)=-\frac n{2v}+\frac1{2v^2}\sum_i(X_i-\mu_0)^2=0, \qquad\boxed{\widehat v=\frac1n\sum_i(X_i-\mu_0)^2}.$$

(4), (5) 独立性と (2) より

$$\boxed{E[\widehat v]=v},\qquad \boxed{V[\widehat v]=\frac1{n^2}\sum_i(3v^2-v^2)=\frac{2v^2}n}.$$

従って不偏である。

問題2

(1)

$U=XY,V=Z^2$ とおく。$0<u,v<1$ で

$$f_U(u)=\int_u^1\frac{dx}{x}=-\log u,\qquad f_V(v)=\frac1{2\sqrt v}.$$

独立性から、同時密度は $\boxed{f_{U,V}(u,v)=-\log u/(2\sqrt v)}$（単位正方形内）、それ以外は零である。従って

$$P(U<V)=\int_0^1\frac1{2\sqrt v}\int_0^v(-\log u)du\,dv =\frac12\int_0^1v^{1/2}(1-\log v)dv =\boxed{\frac59}.$$

(2)

$y=\rho x+\sqrt{1-\rho^2}z$ のヤコビアンは $\sqrt{1-\rho^2}$。変換後は

$$f_{X,Z}(x,z)=\frac1{2\pi}e^{-(x^2+z^2)/2} =\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}.$$

従って独立な標準正規変数である。

(3)

$X>0,Y>0$ は $x>0,\ z>-\rho x/\sqrt{1-\rho^2}$ に対応する。$(X,Z)$ の分布は回転対称であり、領域の角度は $\pi/2+\arcsin\rho$。従って

$$\boxed{P(X>0,Y>0)=\frac14+\frac{\arcsin\rho}{2\pi}}.$$