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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2013年8月実施 数学【II】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

ee を自然対数の底とする。

問1​

(i) ∫0π/2log⁡(sin⁡θ) dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\log(\sin\theta)\,d\theta を求めよ。

(ii) 積分 ∫0∞ye−x2y2dx\int_0^\infty ye^{-x^2y^2}dx は 1≤y≤21\le y\le2 において一様収束する。この事実を利用して、次の積分を求めよ。

∫0∞e−t2−e−4t2t2 dt.\int_0^\infty\frac{e^{-t^2}-e^{-4t^2}}{t^2}\,dt.

問2​

ff は (0,∞)(0,\infty) で微分可能とする。f(x)=0f(x)=0 は ℓ\ell 個の相異なる実数解 0<x1<⋯<xℓ0<x_1<\cdots<x_\ell をもつ。

(i) 十分小さい任意の ε>0\varepsilon>0 と i∈{1,…,ℓ−1}i\in\{1,\ldots,\ell-1\} に対し、0<ε1,ε2<ε0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<\varepsilon で

sgn⁡f′(xi+ε1)=−sgn⁡f′(xi+1−ε2)≠0\operatorname{sgn}f'(x_i+\varepsilon_1)=-\operatorname{sgn}f'(x_{i+1}-\varepsilon_2)\ne0

となるものが存在することを、テイラーの定理を用いて示せ。ここで sgn⁡y\operatorname{sgn}y は y>0,y=0,y<0y>0,y=0,y<0 に応じて 1,0,−11,0,-1 をとる。

(ii) f′(x)=0f'(x)=0 の実数解の個数を mm とする。(i) を用いて m≥ℓ−1m\ge\ell-1 を示せ。

(iii) g(x)=exf(x)g(x)=e^xf(x) とする。g′(x)=0g'(x)=0 の実数解の個数を nn、f(x)+f′(x)=0f(x)+f'(x)=0 の実数解の個数を jj とすると、n=jn=j を示せ。

(iv) lim⁡x→∞exf(x)=0\lim_{x\to\infty}e^xf(x)=0 を追加条件とする。f(x)+f′(x)=0f(x)+f'(x)=0 の実数解の個数を kk とすると、(ii),(iii) を用いて k≥ℓk\ge\ell を示せ。

题目描述​

问1 (i) 求 ∫0π/2log⁡(sin⁡θ)dθ\int_0^{\pi/2}\log(\sin\theta)d\theta。(ii) 已知 ∫0∞ye−x2y2dx\int_0^\infty ye^{-x^2y^2}dx 在 1≤y≤21\le y\le2 上一致收敛，利用这一事实求 ∫0∞(e−t2−e−4t2)/t2 dt\int_0^\infty(e^{-t^2}-e^{-4t^2})/t^2\,dt。ee 为自然对数的底。

问2 设 ff 在 (0,∞)(0,\infty) 可微，f(x)=0f(x)=0 的全部互异实根为 0<x1<⋯<xℓ0<x_1<\cdots<x_\ell。(i) 利用泰勒定理证明：对任意充分小的 ε>0\varepsilon>0 和 i=1,…,ℓ−1i=1,\ldots,\ell-1，存在 0<ε1,ε2<ε0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<\varepsilon 使

sgn⁡f′(xi+ε1)=−sgn⁡f′(xi+1−ε2)≠0.\operatorname{sgn}f'(x_i+\varepsilon_1)=-\operatorname{sgn}f'(x_{i+1}-\varepsilon_2)\ne0.

其中 sgn⁡\operatorname{sgn} 为符号函数。(ii) 若 f′(x)=0f'(x)=0 有 mm 个实根，利用 (i) 证明 m≥ℓ−1m\ge\ell-1。(iii) 令 g=exfg=e^xf，若 g′=0g'=0 有 nn 个实根，f+f′=0f+f'=0 有 jj 个实根，证明 n=jn=j。(iv) 增加 exf(x)→0e^xf(x)\to0 的条件，利用 (ii),(iii) 证明 f+f′=0f+f'=0 的实根数 k≥ℓk\ge\ell。

Kai​

問1​

(i) 積分を II とする。θ↦π/2−θ\theta\mapsto\pi/2-\theta により I=∫0π/2log⁡(cos⁡θ)dθI=\int_0^{\pi/2}\log(\cos\theta)d\theta。従って

2I=∫0π/2log⁡(sin⁡2θ)dθ−π2log⁡2=I−π2log⁡2,qquadI=−π2log⁡2.2I=\int_0^{\pi/2}\log(\sin2\theta)d\theta-\frac\pi2\log2 =I-\frac\pi2\log2,qquad\boxed{I=-\frac\pi2\log2}.

(ii) e−t2−e−4t2=2t2∫12ye−t2y2dye^{-t^2}-e^{-4t^2}=2t^2\int_1^2ye^{-t^2y^2}dy。与えられた一様収束により積分順序を交換して

∫0∞e−t2−e−4t2t2dt=2∫12 ⁣∫0∞ye−t2y2dt dy=2∫12π2dy=π.\int_0^\infty\frac{e^{-t^2}-e^{-4t^2}}{t^2}dt =2\int_1^2\!\int_0^\infty ye^{-t^2y^2}dt\,dy =2\int_1^2\frac{\sqrt\pi}2dy=\boxed{\sqrt\pi}.

問2​

(i) (xi,xi+1)(x_i,x_{i+1}) には零点がないので、連続性から ff の符号は一定かつ非零である。小さい δ∈(0,ε)\delta\in(0,\varepsilon) をとる。一次のテイラーの定理（平均値の定理）により

f(xi+δ)=δf′(xi+ε1),f(xi+1−δ)=−δf′(xi+1−ε2)f(x_i+\delta)=\delta f'(x_i+\varepsilon_1),\qquad f(x_{i+1}-\delta)=-\delta f'(x_{i+1}-\varepsilon_2)

を満たす 0<ε1,ε2<δ0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<\delta が存在する。左辺の符号が等しいことから結論を得る。

(ii) 導関数は中間値の性質をもつので、(i) の二点の間に f′=0f'=0 の点が存在する。各区間 (xi,xi+1)(x_i,x_{i+1}) で一つずつ得られ、m≥ℓ−1\boxed{m\ge\ell-1}。

(iii) g′=ex(f+f′)g'=e^x(f+f') かつ ex>0e^x>0 なので両方の零点集合は等しい。従って n=j\boxed{n=j}。

(iv) (ii),(iii) より (x1,xℓ)(x_1,x_\ell) 内に少なくとも ℓ−1\ell-1 個ある。さらに a>xℓa>x_\ell をとると g(a)≠0g(a)\ne0。g(x)→0g(x)\to0 なので b>ab>a を ∣g(b)∣<∣g(a)∣|g(b)|<|g(a)| となるように選べる。g(xℓ)=0g(x_\ell)=0 より、∣g∣|g| は [xℓ,b][x_\ell,b] の内部に正の最大値をとる。その点で g′=0g'=0 であり、追加の零点を得る。従って k≥ℓ\boxed{k\ge\ell}。

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