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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2012年8月実施 数学【II】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

ee を自然対数の底とする。

問1​

nn は自然数とする。

(i) 定積分を用いて lim⁡n→∞∑i=1n1n+i\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac1{n+i} を求めよ。

(ii) ∣x∣≤1/2|x|\le1/2 において ∣log⁡(1+x)−x∣≤x2|\log(1+x)-x|\le x^2 を示せ。

(iii) (i),(ii) を用いて lim⁡n→∞∏i=1n2(n+i)−12(n+i)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n\frac{2(n+i)-1}{2(n+i)} を求めよ。

問2​

ff は (0,∞)(0,\infty) で微分可能とする。

(i) g(x)=xf(log⁡x)g(x)=xf(\log x) を考えることにより、0<a<b0<a<b に対して

ebf(b)−eaf(a)eb−ea=f(c)+f′(c)\frac{e^bf(b)-e^af(a)}{e^b-e^a}=f(c)+f'(c)

を満たす c∈(a,b)c\in(a,b) が存在することを示せ。

(ii) lim⁡x→∞[f(x)+f′(x)]=0\lim_{x\to\infty}[f(x)+f'(x)]=0 なら lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty}f(x)=0 であることを示せ。

(iii) hh は C3C^3 級とする。h+h′+h′′+h(3)→0h+h'+h''+h^{(3)}\to0 であるが h→0h\to0 ではない例を示せ。

题目描述​

问1 设 nn 为自然数。(i) 用定积分求 lim⁡n→∞∑i=1n1/(n+i)\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n1/(n+i)。(ii) 证明 ∣x∣≤1/2|x|\le1/2 时 ∣log⁡(1+x)−x∣≤x2|\log(1+x)-x|\le x^2。(iii) 利用前两问求 lim⁡n→∞∏i=1n[2(n+i)−1]/[2(n+i)]\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n[2(n+i)-1]/[2(n+i)]。

问2 设 ff 在 (0,∞)(0,\infty) 可微。(i) 通过 g(x)=xf(log⁡x)g(x)=xf(\log x)，证明对 0<a<b0<a<b 存在 c∈(a,b)c\in(a,b) 使 (ebf(b)−eaf(a))/(eb−ea)=f(c)+f′(c)(e^bf(b)-e^af(a))/(e^b-e^a)=f(c)+f'(c)。(ii) 证明若 f+f′→0f+f'\to0，则 f→0f\to0。(iii) 举一个 C3C^3 函数 hh，使 h+h′+h′′+h(3)→0h+h'+h''+h^{(3)}\to0，但 hh 不趋于零。ee 为自然对数的底。

Kai​

問1​

(i) リーマン和より

∑i=1n1n+i=1n∑i=1n11+i/n⟶∫01dt1+t=log⁡2.\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}=\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{1+i/n} \longrightarrow\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\boxed{\log2}.

(ii) ∣t∣≤1/2|t|\le1/2 では 1/(1+t)≤21/(1+t)\le2 なので

∣log⁡(1+x)−x∣=∣∫0x−t1+tdt∣≤2∫0∣x∣s ds=x2.|\log(1+x)-x|=\left|\int_0^x\frac{-t}{1+t}dt\right| \le2\int_0^{|x|}s\,ds=x^2.

(iii) 積を PnP_n とおく。(ii) より

∣log⁡Pn+12∑i=1n1n+i∣≤14∑i=1n1(n+i)2≤14n→0.\left|\log P_n+\frac12\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}\right| \le\frac14\sum_{i=1}^n\frac1{(n+i)^2}\le\frac1{4n}\to0.

従って log⁡Pn→−12log⁡2\log P_n\to-\frac12\log2 であり、Pn→1/2\boxed{P_n\to1/\sqrt2}。

問2​

(i) g′(x)=f(log⁡x)+f′(log⁡x)g'(x)=f(\log x)+f'(\log x)。[ea,eb][e^a,e^b] 上の平均値の定理により、g′(ξ)=[ebf(b)−eaf(a)]/(eb−ea)g'(\xi)=[e^bf(b)-e^af(a)]/(e^b-e^a) となる ξ∈(ea,eb)\xi\in(e^a,e^b) が存在する。c=log⁡ξc=\log\xi とすればよい。

(ii) 任意の ε>0\varepsilon>0 に対し、x≥ax\ge a で ∣f(x)+f′(x)∣<ε|f(x)+f'(x)|<\varepsilon となる a>0a>0 を固定する。(i) より任意の b>ab>a に対して

∣f(b)∣≤ea−b∣f(a)∣+(1−ea−b)ε.|f(b)|\le e^{a-b}|f(a)|+(1-e^{a-b})\varepsilon.

b→∞b\to\infty として lim sup⁡∣f(b)∣≤ε\limsup|f(b)|\le\varepsilon。ε\varepsilon は任意なので f(b)→0\boxed{f(b)\to0}。

(iii) h(x)=sin⁡x\boxed{h(x)=\sin x} とすれば h+h′+h′′+h(3)=0h+h'+h''+h^{(3)}=0 だが、hh は零に収束しない。

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