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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2012年8月実施 専門科目 工業数学

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問題1​

(1) (−1+i)7(-1+i)^7 の実部と虚部を求めよ。

(2) 方程式 ez+i=1e^{z+i}=1 の解を求めよ。

(3) eiz‾−e−iz‾\overline{e^{iz}}-e^{-i\overline z} の実部と虚部を求めよ。

問題2​

m≥1m\ge1 を整数とする。円周を正方向に一周する次の積分を求めよ。

(1) ∮∣z∣=0.5zzm−1dz\displaystyle\oint_{|z|=0.5}\frac{z}{z^m-1}dz。

(2) ∮∣z∣=4sin⁡z(z+π)2(z−5)dz\displaystyle\oint_{|z|=4}\frac{\sin z}{(z+\pi)^2(z-5)}dz。

問題3​

f(z)=tanh⁡zf(z)=\tanh z は ∣z∣<π/2|z|<\pi/2 で

tanh⁡z=∑n=0∞anzn,an=f(n)(0)n!\tanh z=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n,\qquad a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}

とテイラー展開できる。tanh⁡z=(ez−e−z)/(ez+e−z)\tanh z=(e^z-e^{-z})/(e^z+e^{-z}) とする。

(1) f′(z)+f(z)2=1f'(z)+f(z)^2=1 を示せ。

(2) n≥1n\ge1 に対し an+1=−1n+1∑m=0nan−mam\displaystyle a_{n+1}=-\frac1{n+1}\sum_{m=0}^na_{n-m}a_m を示せ。

(3) (2) を用いて a2n=0 (n≥0)a_{2n}=0\ (n\ge0) を示せ。

(4) a1,a3,a5a_1,a_3,a_5 を求めよ。

题目描述​

问题1 (1) 求 (−1+i)7(-1+i)^7 的实部、虚部。(2) 解 ez+i=1e^{z+i}=1。(3) 求 eiz‾−e−iz‾\overline{e^{iz}}-e^{-i\overline z} 的实部、虚部。

问题2 设整数 m≥1m\ge1，求沿圆周正向积分：(1) ∮∣z∣=0.5z/(zm−1)dz\oint_{|z|=0.5}z/(z^m-1)dz；(2) ∮∣z∣=4sin⁡z/[(z+π)2(z−5)]dz\oint_{|z|=4}\sin z/[(z+\pi)^2(z-5)]dz。

问题3 设 f(z)=tanh⁡z=(ez−e−z)/(ez+e−z)=∑n≥0anznf(z)=\tanh z=(e^z-e^{-z})/(e^z+e^{-z})=\sum_{n\ge0}a_nz^n，∣z∣<π/2|z|<\pi/2，an=f(n)(0)/n!a_n=f^{(n)}(0)/n!。(1) 证明 f′+f2=1f'+f^2=1。(2) 证明 n≥1n\ge1 时 an+1=−(n+1)−1∑m=0nan−mama_{n+1}=-(n+1)^{-1}\sum_{m=0}^na_{n-m}a_m。(3) 利用该递推式证明所有偶数次系数为零。(4) 求 a1,a3,a5a_1,a_3,a_5。

Kai​

問題1​

(1) (−1+i)7=27/2e21πi/4=−8−8i(-1+i)^7=2^{7/2}e^{21\pi i/4}=-8-8i。従って実部、虚部ともに −8\boxed{-8}。

(2) z+i=2πkiz+i=2\pi ki より z=i(2πk−1), k∈Z\boxed{z=i(2\pi k-1),\ k\in\mathbb Z}。

(3) eiz‾=eiz‾=e−iz‾\overline{e^{iz}}=e^{\overline{iz}}=e^{-i\overline z} より実部、虚部ともに 0\boxed0。

問題2​

(1) zm=1z^m=1 の解はすべて ∣z∣=1|z|=1 上にある。積分円の内部に特異点がないので、積分値は 0\boxed0。

(2) 円内の唯一の特異点は z=−πz=-\pi であり、sin⁡z\sin z の零点によって単純極となる。留数は

lim⁡z→−πsin⁡z(z+π)(z−5)=cos⁡(−π)−π−5=1π+5.\lim_{z\to-\pi}\frac{\sin z}{(z+\pi)(z-5)} =\frac{\cos(-\pi)}{-\pi-5}=\frac1{\pi+5}.

従って ∮∣z∣=4sin⁡z(z+π)2(z−5)dz=2πiπ+5\boxed{\oint_{|z|=4}\frac{\sin z}{(z+\pi)^2(z-5)}dz=\frac{2\pi i}{\pi+5}}。

問題3​

(1) f′=1/cosh⁡2zf'=1/\cosh^2z より f′+f2=(1+sinh⁡2z)/cosh⁡2z=1f'+f^2=(1+\sinh^2z)/\cosh^2z=1。

(2) 冪級数を代入し znz^n の係数を比較すると、n≥1n\ge1 で

(n+1)an+1+∑m=0nan−mam=0.(n+1)a_{n+1}+\sum_{m=0}^na_{n-m}a_m=0.

(3) a0=f(0)=0a_0=f(0)=0。a0,a2,…,a2ka_0,a_2,\ldots,a_{2k} が零と仮定する。n=2k+1n=2k+1 とした (2) の各積では添字の片方が 2k2k 以下の偶数なので、a2k+2=0a_{2k+2}=0。帰納法から結論を得る。

(4) 定数項から a1=1a_1=1。さらに a3=−a12/3a_3=-a_1^2/3、a5=−2a1a3/5a_5=-2a_1a_3/5 より

a1=1,a3=−13,a5=215.\boxed{a_1=1,\qquad a_3=-\frac13,\qquad a_5=\frac2{15}}.
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