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京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2011年8月実施 数学【II】

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

正整数 mm に対し

f(x)={exp⁡(−1/x2m),x≠0,0,x=0f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x^{2m}),&x\ne0,\\0,&x=0\end{cases}

とする。exp⁡(y)=ey\exp(y)=e^y である。

(i) m=1m=1 の場合の ff の概形を描け。

(ii) 非負整数 γ\gamma に対し lim⁡x→0x−γexp⁡(−1/x2m)=0\lim_{x\to0}x^{-\gamma}\exp(-1/x^{2m})=0 を示せ。

(iii) 原点での定義に注意して f′(0)f'(0) を求めよ。

(iv) nn 次導関数について f(n)(0)f^{(n)}(0) を求めよ。

問2​

n=1,2,…n=1,2,\ldots に対し

fn(x)=e−x−e−(n+1)x1−e−x,gn(x)=e−x−e−nxxf_n(x)=\frac{e^{-x}-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}},\qquad g_n(x)=\frac{e^{-x}-e^{-nx}}x

とする。

(i) Fn=∫0∞fn(x)dxF_n=\int_0^\infty f_n(x)dx を求めよ。

(ii) Gn=∫0∞gn(x)dxG_n=\int_0^\infty g_n(x)dx を、∫1ne−xydy\int_1^ne^{-xy}dy を考えることにより求めよ。

(iii) すべての nn に対して Fn−Gn>0F_n-G_n>0 を示せ。

(iv) n→∞n\to\infty で Fn−GnF_n-G_n の極限が存在することを示せ。

题目描述​

问1 对正整数 mm，定义 f(x)=e−1/x2mf(x)=e^{-1/x^{2m}}（x≠0x\ne0）、f(0)=0f(0)=0。(i) 画出 m=1m=1 时的函数概形。(ii) 对任意非负整数 γ\gamma，证明 x→0x\to0 时 x−γe−1/x2m→0x^{-\gamma}e^{-1/x^{2m}}\to0。(iii) 注意原点处定义，求 f′(0)f'(0)。(iv) 求所有阶数的 f(n)(0)f^{(n)}(0)。

问2 对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 定义 fn=(e−x−e−(n+1)x)/(1−e−x)f_n=(e^{-x}-e^{-(n+1)x})/(1-e^{-x})、gn=(e−x−e−nx)/xg_n=(e^{-x}-e^{-nx})/x。(i) 求 Fn=∫0∞fn(x)dxF_n=\int_0^\infty f_n(x)dx。(ii) 通过积分 ∫1ne−xydy\int_1^ne^{-xy}dy 求 Gn=∫0∞gn(x)dxG_n=\int_0^\infty g_n(x)dx。(iii) 证明 Fn−Gn>0F_n-G_n>0。(iv) 证明 Fn−GnF_n-G_n 在 n→∞n\to\infty 时存在极限。

Kai​

問1​

(i) 偶関数で、原点で零、x≠0x\ne0 で 0<f(x)<10<f(x)<1。x>0x>0 で単調増加、x<0x<0 で単調減少し、x→±∞x\to\pm\infty で f(x)→1f(x)\to1。原点の接線は y=0y=0。

m=1 の f(x)=exp(-1/x²) の概形

(ii) t=∣x∣−2mt=|x|^{-2m} とおくと

∣x−γe−1/x2m∣=tγ/(2m)e−t⟶0(t→∞).|x^{-\gamma}e^{-1/x^{2m}}|=t^{\gamma/(2m)}e^{-t}\longrightarrow0\qquad(t\to\infty).

(iii) 定義と (ii) より f′(0)=lim⁡h→0h−1e−1/h2m=0\boxed{f'(0)=\lim_{h\to0}h^{-1}e^{-1/h^{2m}}=0}。

(iv) x≠0x\ne0 で各導関数は f(n)(x)=Pn(x−1)e−1/x2mf^{(n)}(x)=P_n(x^{-1})e^{-1/x^{2m}}（PnP_n は多項式）の形をもつ。f(n)(0)=0f^{(n)}(0)=0 と仮定すれば、差商は (ii) によって零に収束する。帰納法により f(n)(0)=0(n≥0)\boxed{f^{(n)}(0)=0\quad(n\ge0)}。

問2​

(i) fn(x)=∑k=1ne−kxf_n(x)=\sum_{k=1}^ne^{-kx} より Fn=∑k=1n1/k\boxed{F_n=\sum_{k=1}^n1/k}。

(ii) gn(x)=∫1ne−xydyg_n(x)=\int_1^ne^{-xy}dy であり、非負性により積分順序を交換すると

Gn=∫1n ⁣∫0∞e−xydx dy=∫1ndyy=log⁡n.G_n=\int_1^n\!\int_0^\infty e^{-xy}dx\,dy=\int_1^n\frac{dy}y=\boxed{\log n}.

(iii) 1/x1/x は単調減少だから log⁡n=∑k=1n−1∫kk+1dx/x<∑k=1n−11/k<Fn\log n=\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}dx/x<\sum_{k=1}^{n-1}1/k<F_n（n=1n=1 も明らか）。

(iv) En=Fn−GnE_n=F_n-G_n とすると

En+1−En=1n+1−∫nn+1dxx<0.E_{n+1}-E_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x<0.

正で単調減少するので、有限の極限が存在する。

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